- ベストアンサー
★急ぎ★マクローリン(テイラー)展開について
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
大学１，２年次、一般書に書いてあるテイラー展開の証明が納得できず２年間証明を理解しないまま展開式（Σ記号のあるやつ）だけ暗記して使っていました。 別に展開の仕方だけ知ってれば困ることはありませんでしたが、収束判定とかを厳密に理解したことになりませんよね。 証明の方針は、δ-ε論法→ワイヤストラスの定理→ロルの定理（平均値の定理？）という具合でしょうか？（順番は違う書き方しているのも見受けられるが） 一般書は平均値の定理とかワイヤストラスを無条件でいきなり使っています（だから納得できない）が、私の場合結局δ-ε論法を理解していないと納得いきませんでした。 共立出版の数学ワンポイント双書シリーズに、テイラー展開だけで１冊になっている本があるから、読んでみるといいよ。私はこれで納得できた（つもりでいる）。 δ-ε論法を知らなかったらこのシリーズに１冊でデルタ・イプシロンだけが書かれているのがあるから読んでみるといいよ。
関連するQ&A
- テイラー展開とマクローリン展開の語源に関する質問
テイラー展開はマクローリン展開の拡張であり、 マクローリン展開はテイラー展開のある制約のもとで成り立つ式です。 テイラー展開とマクローリン展開はどちらが先に生まれたのでしょうか？ なぜほとんど同じものである公式に全く別の人の名前がついているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開とマクローリン展開
独学なのでいまいちはっきりわからなく。。。 f(x)のテーラー展開 Σ(n=0~∞) (☆/n!)(x-a)^n (☆はf(x)をn回微分したものにaを代入した値） １）マクローリン展開はテーラー展開の一種である。（テーラー展開のaに０を代入したものをマクローリン展開という） ２）aに代入する値は別に何の数字であっても展開はできる 3)テーラー展開は基本的に無限回微分可能な関数をf(x)=多項式の形に直すのに使われる という理解でいいのですか？ 間違ってたら訂正お願いします。 またこれはいつ使うのでしょうか。。？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 冪級数展開 マクローリン展開 テーラー展開
冪級数展開とはテーラー展開とマクローリン展開の総称だと思っていました。 知人によれば、冪級数展開はマクローリン展開と同じ意味でテーラー展開とは 違うと言っていました。 私は、マクローリン展開はテーラー展開のx=0つまり、原点中心の級数展開だから どちらも同じように思っています。 冪級数展開とはマクローリン展開のことを指すのでしょうか？ テーラー展開のことは冪級数展開とは言わないのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開（マクローリン展開）について
テーラー展開についての質問です。 問題=============================================== 1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。 =============================================== この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、 わからない点が有ります。 <解答例> cos x のマクローリン展開は、 cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞）であるから、 1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …) ここで、 1/(1 - x) のマクローリン展開が Σ{n=0→+∞} x^n で与えられるので、 これを利用して、 1/cos x = 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + … ー(1) = 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +… ー(2) となる。 ここで疑問なのは、 1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、 適用できるわけじゃないですか？ (1)から(2)のような形にする場合に、 |(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか？ 具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、 cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、 それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので このような展開をしてはいけないと思うのです。 当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マクローリン、テーラーという人はそれぞれマクローリン展開についてどういう貢献をしたのですか
数学の「マクローリン展開」の発見に関して、マクローリンという人と、テーラーという人はそれぞれどういう貢献、どういう仕事をしたのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開とローラン展開
テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか？式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開するには
e^-xをテーラー展開するということはマクローリン展開すればよいのですか？問題ではxの値が指定されていません。さらに、近似誤差が１％以内となるxの値も問われています。どうすればよいか詳しく教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- ｎ次近似式とテイラー展開について
学校で近似式の勉強をしていて、テイラー展開という所まで進みました。 そこでｎ次近似式との関係について良くわからない事がありましたので質問します。 文章がわかりにくいと思いますがお願いします。 ｎ次近似式は、ｎ番目までの近似でｎ番目の後にランダウの記号がついています。 テイラー展開はｎ番目の近似の後にさらに・・・と続いています。 この二つにはどのような違いがあるのでしょうか？ あとマクローリン展開はa=0の時のテイラー展開という事はわかりました。 そこで、 f(x)=exp(x)のx=0におけるn次近似式を求めよ。と書いてあった時は、ｎ次近似式とテイラー展開が同じ事を言っているとしたら、マクローリン展開で解いても良いのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
