ｙ＝２ｓｉｎχ＋ｃｏｓ２χ の最大値と最小値

質問

ｙ＝２ｓｉｎχ＋ｃｏｓ２χ　の最大値と最小値を求めよ。って問題で、自分は
ｙ＝２ｓｉｎχ＋（１－２ｓｉｎ＾２χ）
　＝－２ｓｉｎ＾２χ＋２ｓｉｎχ＋１　　にして
ｓｉｎχ＝（１±√３）／２　　　　　　　を求める。　　―――★

ここの値が最大値と最小値なの？それとも
－１≦ｓｉｎχ≦１より
(1)ｓｉｎχ＝－１代入して　　ｙ＝－３
(2)ｓｉｎχ＝１　代入して　　ｙ＝１　　　　　―――☆

★と☆より　最大値（１＋√３）／２　　最小値－３　　　　ってこと？

それとも見当違いですか？
教えてください。

今気付いたら、★のところまでしか求めてないから、見当違いっぽいですね！？（ｙ＝～にしてないし・・・。）
そんなわけで、正答を・・・。　ｍ（＿＿）ｍ

回答No.4

ryuusennsisho · ベストアンサー

回答を求めてるみたいなので一応全部書きますね
下の続き～
ｙ＝－２ｔ＾２＋２ｔ＋１　－１≦ｔ≦１・・・・(1)
ここで頂点がわかる形にもってきます～！

ｙ＝－２（ｔ－２/1)＋２/３・・・・(2)

(1)と(2)を考慮してグラフを書きますね
すると
最大値ｔ＝２/１のときで２/３
最小値ｔ＝－１のときで－３となります

グラフはここにかけないのでごめんなさい～m(_ _)m

以上
竜千士　翔でした～☆

お礼

ありがとうございました。
某漫画に似たような名前を見たことがあるのですが・・・。

回答No.5

hikaru_mac

hikaru_macです。
４人のかたが解答しているので、私はちょっと関係有るかもしれないアドバイスを、、、。

「ｙ＝２ｓｉｎχ＋ｃｏｓ２χ　の最大値と最小値を求めよ。」ってことで
ｙ＝－２((ｓｉｎχ)^2)＋２ｓｉｎχ＋１にしてるね。

そこからの事なんだけど、
これの最大値を考えるときに、まず
ｘが変わればsin(x)がかわるね。そしてsin(x)が変わるとyもかわる。

もちっとくわしく考えてみる。

xがいろいろに変われば、sin(x)もいろいろに変わるか、、。
いや、実はsin(x)は1-から1までの間しか変わらない。
っで、いま、yの最大値と最小値が知りたいから
sin(x)がいくらの時にyがいくらなかを考える。
sin(x)と書く代わりにtと書くと、もとの式は
y=-2t^2+2t+1
である。

重要なのは、tはsin(x)のことだから、tも-1から1の間だよってこと。
それで、この「y=-2t^2+2t+1」はほかの4人がおっしゃるように、tの二次関数です。

ということで、縦軸y、横軸tのグラフを書いてみると、
どうやら
t=-1のとき　　 y=-3で最小
t=1/2のとき　　y=3/2で最大
らしい。

そして、最後。
t=1っていうのはsin(x)=1ってこと。
t=1/2っていうのはsin(x)=1/2ってこと。
ってことはつまり
sin(x)=-1のとき　　 y=-3でyは最小値になる
sin(x)=1/2のとき　　y=3/2でyは最大値になる
ってこと。

それで、sin(x)=-1とかsin(x)=1/2になってるときに
いったいxはいくらなのか？
これはまぁ、三角関数のところの教科書を読んで下さいな。
または後でしつもんしてくださいな。
かんたんに、xは何度かわかります。πを使ってラジアンという単位でこたえなきゃならないときもあります。

そんなかんじで、この問題は解けるんじゃないでしょうか？

（ここから下はわかんなくてもいいけど）
ところで
sin(x)=-1とかsin(x)=1/2ってのは
-1から1までのあいだなので、だいじょうぶなんだけど、
たとえば、t=3の時にyが最大、、なんてなっても、
tはsin(x)のことだから、sin(x)が3なになるはずがないから
こまってしまうね。
実はyとtのグラフを書く時に、t（横軸）は-1から1までしか
書かないようにしなくちゃならないんです。
そうやてグラフを書けば、最大値も最小値もちゃんと-1から1までの
間になるんです。

--------終わり

お礼

理解力が欠けているのですが「最後まで確認しろ！！」ってことですよね！？（全然違う気もしますが・・・。）
とにもかくにも、ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

> ｓｉｎχ＝（１±√３）／２　　　　　　　を求める

ん？，y の最大値と最小値を求めるんですよね．
こりゃ，
－２ｓｉｎ＾２χ＋２ｓｉｎχ＋１ = 0
を解いたんでしょ？
欲しいのは，y の最大値最小値であって，
y がゼロになる話ではないですよね．

ｓｉｎχ = t とおいて
y = -2t^2 + 2t + 1
　= -2{t-(1/2)}^2 + (3/2)
ですから，この関数の -1≦t≦1 での最大値最小値を出せばいいわけです．
グラフ書いてみれば一発ですよ．

お礼

ありがとうございました！！
とけました。

回答No.2

ume_pyon

異なる三角関数，異なる偏角をすべて統一するところまではできていますね．
あとは，実は二次関数の問題なんです！

y=-2sin^2x+2sinx+1
において，sinx=t（-1≦t≦1）とおくと，

y=-2t^2+2t+1

となりますよね．あら，これって二次関数じゃないですか！！
あとはこの式を平方完成してy-tグラフを書いて，tが-1から1の範囲でyの最大値，最小値を求めて
あげればよろしいわけです．

y=-2(t-1/2)^2+3/2

というわけで，
t=-1のとき，つまりx=-90°のとき，y=-3で最小
t=1/2のとき，つまりx=30°,150°のとき，y=3/2で最大

あってますかね？ちなみに，
3/2＞(1+√3)/2＞1ですので，3/2が最大値として適していましょう．

ただし！要注意は，与えられた式はsin,cos両方を含んでいるので，以上で求められたxを最初の式に代入して，本当にあっているか確かめるようにしましょう．この場合は，どの角度の場合も適しているようですが．

お礼

ありがとうございました。
解けました。

回答No.1

ryuusennsisho

えっと途中まで書きますね
ｙ＝２ｓｉｎχ＋ｃｏｓ２χ　の最大値と最小値を求めよ。って問題で、自分は
ｙ＝２ｓｉｎχ＋（１－２ｓｉｎ＾２χ）
　＝－２ｓｉｎ＾２χ＋２ｓｉｎχ＋１　　にして

ここまではいいと思います
それでわかりやすいようにsinx＝ｔとおきますね

sinx=tと置く－１≦ｔ≦１

そして
ｙ＝－２t^２＋２ｔ＋１となります

これでわかるかもしれませんけど
具体的にいうと最大値は頂点がわかる形にしてときますね
最小値はグラフを書いて
－１≦ｔ≦１の範囲で考えます

以上
竜千士　翔でした～☆