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y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値

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お礼率 90% (48/53)

y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値を求めよ。って問題で、自分は
y=2sinχ+(1-2sin^2χ)
 =-2sin^2χ+2sinχ+1  にして
sinχ=(1±√3)/2       を求める。  ―――★

ここの値が最大値と最小値なの?それとも
-1≦sinχ≦1より
(1)sinχ=-1代入して  y=-3
(2)sinχ=1 代入して  y=1     ―――☆

★と☆より 最大値(1+√3)/2  最小値-3    ってこと?

それとも見当違いですか?
教えてください。

今気付いたら、★のところまでしか求めてないから、見当違いっぽいですね!?(y=~にしてないし・・・。)
そんなわけで、正答を・・・。 m(__)m
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 20% (64/308)

回答を求めてるみたいなので一応全部書きますね
下の続き~
y=-2t^2+2t+1 -1≦t≦1・・・・(1)
ここで頂点がわかる形にもってきます~!

y=-2(t-2/1)+2/3・・・・(2)

(1)と(2)を考慮してグラフを書きますね
すると
最大値t=2/1のときで2/3
最小値t=-1のときで-3となります

グラフはここにかけないのでごめんなさい~m(_ _)m

以上
竜千士 翔でした~☆
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

ありがとうございました。
某漫画に似たような名前を見たことがあるのですが・・・。
投稿日時 - 2002-02-07 18:02:17
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 20% (64/308)

えっと途中まで書きますね
y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値を求めよ。って問題で、自分は
y=2sinχ+(1-2sin^2χ)
 =-2sin^2χ+2sinχ+1  にして

ここまではいいと思います
それでわかりやすいようにsinx=tとおきますね

sinx=tと置く-1≦t≦1

そして
y=-2t^2+2t+1となります

これでわかるかもしれませんけど
具体的にいうと最大値は頂点がわかる形にしてときますね
最小値はグラフを書いて
-1≦t≦1の範囲で考えます

以上
竜千士 翔でした~☆


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 58% (58/99)

異なる三角関数,異なる偏角をすべて統一するところまではできていますね.
あとは,実は二次関数の問題なんです!


y=-2sin^2x+2sinx+1
において,sinx=t(-1≦t≦1)とおくと,

y=-2t^2+2t+1

となりますよね.あら,これって二次関数じゃないですか!!
あとはこの式を平方完成してy-tグラフを書いて,tが-1から1の範囲でyの最大値,最小値を求めて
あげればよろしいわけです.


y=-2(t-1/2)^2+3/2

というわけで,
t=-1のとき,つまりx=-90°のとき,y=-3で最小
t=1/2のとき,つまりx=30°,150°のとき,y=3/2で最大

あってますかね?ちなみに,
3/2>(1+√3)/2>1ですので,3/2が最大値として適していましょう.

ただし!要注意は,与えられた式はsin,cos両方を含んでいるので,以上で求められたxを最初の式に代入して,本当にあっているか確かめるようにしましょう.この場合は,どの角度の場合も適しているようですが.
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

ありがとうございました。
解けました。
投稿日時 - 2002-02-07 17:56:29
  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

> sinχ=(1±√3)/2       を求める

ん?,y の最大値と最小値を求めるんですよね.
こりゃ,
-2sin^2χ+2sinχ+1 = 0
を解いたんでしょ?
欲しいのは,y の最大値最小値であって,
y がゼロになる話ではないですよね.

sinχ = t とおいて
y = -2t^2 + 2t + 1
 = -2{t-(1/2)}^2 + (3/2)
ですから,この関数の -1≦t≦1 での最大値最小値を出せばいいわけです.
グラフ書いてみれば一発ですよ.
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

ありがとうございました!!
とけました。
投稿日時 - 2002-02-07 18:00:22
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 20% (38/185)

hikaru_macです。
4人のかたが解答しているので、私はちょっと関係有るかもしれないアドバイスを、、、。

「y=2sinχ+cos2χ の最大値と最小値を求めよ。」ってことで
y=-2((sinχ)^2)+2sinχ+1にしてるね。

そこからの事なんだけど、
これの最大値を考えるときに、まず
xが変わればsin(x)がかわるね。そしてsin(x)が変わるとyもかわる。

もちっとくわしく考えてみる。

xがいろいろに変われば、sin(x)もいろいろに変わるか、、。
いや、実はsin(x)は1-から1までの間しか変わらない。
っで、いま、yの最大値と最小値が知りたいから
sin(x)がいくらの時にyがいくらなかを考える。
sin(x)と書く代わりにtと書くと、もとの式は
y=-2t^2+2t+1
である。

重要なのは、tはsin(x)のことだから、tも-1から1の間だよってこと。
それで、この「y=-2t^2+2t+1」はほかの4人がおっしゃるように、tの二次関数です。

ということで、縦軸y、横軸tのグラフを書いてみると、
どうやら
t=-1のとき   y=-3で最小
t=1/2のとき  y=3/2で最大
らしい。

そして、最後。
t=1っていうのはsin(x)=1ってこと。
t=1/2っていうのはsin(x)=1/2ってこと。
ってことはつまり
sin(x)=-1のとき   y=-3でyは最小値になる
sin(x)=1/2のとき  y=3/2でyは最大値になる
ってこと。

それで、sin(x)=-1とかsin(x)=1/2になってるときに
いったいxはいくらなのか?
これはまぁ、三角関数のところの教科書を読んで下さいな。
または後でしつもんしてくださいな。
かんたんに、xは何度かわかります。πを使ってラジアンという単位でこたえなきゃならないときもあります。

そんなかんじで、この問題は解けるんじゃないでしょうか?


(ここから下はわかんなくてもいいけど)
ところで
sin(x)=-1とかsin(x)=1/2ってのは
-1から1までのあいだなので、だいじょうぶなんだけど、
たとえば、t=3の時にyが最大、、なんてなっても、
tはsin(x)のことだから、sin(x)が3なになるはずがないから
こまってしまうね。
実はyとtのグラフを書く時に、t(横軸)は-1から1までしか
書かないようにしなくちゃならないんです。
そうやてグラフを書けば、最大値も最小値もちゃんと-1から1までの
間になるんです。

--------終わり
お礼コメント
yuiyuio

お礼率 90% (48/53)

理解力が欠けているのですが「最後まで確認しろ!!」ってことですよね!?(全然違う気もしますが・・・。)
とにもかくにも、ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-07 17:55:07
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