極値の問題、誰か教えてください！！

質問

(xy)^3=x+y　における陰関数yの極値を求めよ。
こういう問題が出て困っています。
やり方は習ったのですが途中でつまづいて分からなくなるのです。
誰か分かる人、通してやってみてもらえませんか？

回答No.4

mickel131

(xy)^3=x+y　から　x^3*y^3=x+y ---(1)
これをxで微分すると、
(3*x^2)*(y^3) +(x^3)*(3*y^2*y')=1+y'
(x^3)*(3*y^2*y')-y'=1-(3*x^2)*(y^3)
(3*x^3*y^2-1)*y'=1-3*x^2*y^3

左辺のカッコ内をA、右辺をBとすると、A*y'=B の形になりますが、
ここで、A＝0　とすると、０*y'=B となります。
ここで、さらに　Bが0でない　とすると、０*y'=B を満たすy'は存在しませんから、Aが0　のときは、Bも0 でなければなりません。そこで、
3*x^3*y^2-1＝０　かつ　1-3*x^2*y^3＝０　としてみますと、
3*x^3*y^2＝１---(2）　かつ、3*x^2*y^3＝１---(3)　で、(2)/(3)から、
ｘ/y=1 すなわち　ｙ＝ｘ　となります.これを（１）に代入してみると、
x^6=2*x ∴x^6-2*x=x*(x^5-2)=0
x=0 は（２）に反するので、(x^5-2)=0 ,x^5=2 ∴ｙ＝x＝2^(1/5)
ところが、この値は（２）に反します。従って、Aは０ではありません。

Aが０でないので、
ｙ’＝（1-3*x^2*y^3）/(3*x^3*y^2-1)
y'=0 とすると、1-3*x^2*y^3＝０　∴3*x^2*y^3＝１---(４)

次に、x^3*y^3=x+y ---(1)
の両辺の自然対数をとると、
Log(x^3*y^3)=Log(x+y) ∴Log(x^3)+Log(y^3)=Log(x+y)
∴3*Log(x)+3*Log(y)=Log(x+y)
これをxで微分すると、
3*(1/x)+3*(1/y)*y'=(1/(x+y))*(1+y')
両辺にxy(x+y)をかけると、
3*y(x+y)+3*x(x+y)*y'=(1+y')xy
3yx+3y^2+(3x^2+3xy)y'=xy+xyy'
(3x^2+2xy)y'=-2xy-3y^2
(3x+2y)xy'=-(2x+3y)y

ここでy'=0とおくと　(2x+3y)y＝０
y=0 は（４）に反するので　y＝-(2/3)x　－－－（５）
（５）を（４）に代入して、
３＊（ｘ＾２）＊（－８/２７）X＾３＝１
（-8/9)x^5=1 　∴ x^5=-8/9 　∴ｘ＝（－８/９）^(1/5)
つまり、極値を与えるx　は　－８/９の５乗根（５乗すると－８/９になる負の数）です。極値yは（５）にこの値を代入して、
y＝-(2/3)*((-8/9）^(1/5))=((-32/243)^(1/5))*((-8/9)^(1/5))
＝((-32/243)*(-8/9)) ^(1/5)
＝(4/27) ^(1/5)
つまり、極値は4/27の5乗根（５乗すると４/２７になる正の数）です。
tiezo-さんの言われるように増減表を書いてグラフの概形を確認してください。