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どうすればいいのか分かりません
実数 x，y について I=∫(0～2π) （x cosθ＋ y sinθ－θ)^2 dθ とするとき、Iを最小にするx,yの値とそのときのIの値を求めよ という問題があるのですが、どうすれば良いか分かりません。一応（x cosθ＋ y sinθ－θ)^2を展開してx^2 (cosθ)^2＋y^2（sinθ)^2＋2xycosθsinθ－2θxcosθ－2θysinθ＋θ^2 にしてθで積分してみようと思ったのですが、∫(0～2π)(cosθ)^2 dθができません(問題に関係あるのか分かりませんが)． 最小値なので微分して0になる点を見つけるような気がするんですが…
- j_takoyaking-man
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計算すると I=πx^2+πy^2+4πy+(8/3)π^3 となり I=πx^2+π(y+2)^2+(8/3)π^3-4π と変形し、ｘ、ｙが実数であることにより 最小値は x=0 , y=-2 のとき (8/3)π^3-4π となります。 計算は、自信がありませんが 考え方は、こうだと思います。
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- tiezo-
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倍角・半角の公式を用いて (cosθ)^2=(1+cos2θ)/2 (sinθ)^2=(1-cos2θ)/2 2sinθcosθ=sin2θ とし、積分をすれば答えが見えてきますね。 あとは、ｘｙに関しての二次式です。
補足
ありがとうございます。 積分してみると、 I=(x^2/2)∫(0～2π)1+cos2θdθ＋(y^2／2)∫(0～2π)1－cos2θdθ＋xy∫(0～2π)sin2θdθ－x∫(0～2π)θcosθdθ－y∫(0～2π)θsinθdθ＋∫θ^2dθ =(x^2/2)[θ](0～2π)+(x^2/2)[(1/2)sin2θ](0～2π)+(y^2/2)[θ](0～2π)－(y＾2/2)[(1/2)sin2θ](0～2π)+xy[(-1/2)cos2θ](0～2π)-x[θsinθ](0～2π)+x∫(0～2π)sinθdθ+y[θcosθ](0～2π)-∫(0～2π)cosθdθ+[(1/3)θ^3](0～2π) =π x^2＋π y^2＋2πy＋(8 π^3)/3 となりましたが、変数がx,y２つあるのでこの後どうすれば良いか分かりません。 また答えにはx=0,y=-2のときI=(8/3)π^3-4πとなっているのですが、上の式に代入してみても合いません。計算ももう一度してみましたが間違いはみつかりません。どうすれば良いでしょうか？どなたか教えて下さい。
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お礼
どうもありがとうございました。