範囲の求め方の方法

質問

2つの実数a,bのうち、大きい方をmax{a,b}で表す。（a=bのときはmax{a,b}=aである）このとき、すべての実数xに対して、
不等式max{|x-p|,x-1}≧1が成り立つようなPの範囲を求める

y=f(x)=max{|x-p|,x-1}とおくとき
y=1は
max{|x-p|,x-1}≧1←この1ですか？

|x-p|
-(x-p) (x<p)
x-p (P≦x)

場合分けが
(I）p<1
(II）1≦p
１を中心に考えるのかが分かりません

1≦p
のとき
中点
p＋1/2について考えるのでしょうか？

宜しくお願いします

回答No.2

take008

なるべく場合分けしないで済ませます。

max{|x-p|, x-1}≧1
⇔ |x-p|≧1 or x-1≧1
⇔ x-p≦-1 or x-p≧1 or x-1≧1
⇔ x≦p-1 or p+1≦x or 2≦x
これを数直線で考えて，ギャップがあかないようなｐの範囲を求めればいいです。

絶対値の問題で，|　|の中が正か負で場合分けするのは，定石ではありますが，その前に絶対値の意味を考えてみるといいでしょう。

お礼

参考になりました。
ありがとうございます

回答No.1

postro

場合分けというよりも、以下のように考えたらいかがでしょう。
不等式max{|x-p|,x-1}≧1　について、
もし　x-1≧1　ならば、（すなわち　x≧2 ならば）
|x-p|　はどうでも　max{|x-p|,x-1}≧1　は成り立つ。
だから、ｘ＜2 のとき、常に　|x-p|≧1　でないと困る。
|x-p|　は、数直線の上で考えると、数直線上のxとpの距離のこと。
ｘ＜2 のどんなxでもpとの距離を1以上にするためにはpは
p≧3 でなくてはならない。
逆にp≧3 ならば、ｘ＜2 のどんなxでも距離は1以上になる。