微分方程式

質問

y'=(x+y-4)^2 の微分方程式が解答もなく、何回やっても解けません。変数変換か何かを行うのでしょうか？どなたか解説をお願いいたします。

回答No.2

springside · ベストアンサー

x+y-4=vとおく。
両辺をxで微分すると1+y'=v'なので、元の式に代入し、
v'-1=v^2
となる。つまり、
dv/dx = v^2+1
なので、
∫1/(v^2+1) dv = ∫dx
arctan(v) = x+C
v=tan(x+C)
よって、x+y-4=tan(x+C)なので、
y=tan(x+C)-x+4
って感じでしょうか。

お礼

ありがとうございました！単純な計算ミスだったようです。わかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.1

tuort_sig

x+y-4=A・・・(1)
y'=dy/dx=(x+y-4)^2
ここで(1)を使って
dy/dx=A^2
合成関数の微分
dy/dx=(dy/dA)(dA/dx)=A^2
(1)よりAをxで微分してdA/dxを求め代入する
するとdy/dA=A^2となり両辺をAで積分して
∫dy=∫A^2dA
y=(1/3)A^3+C
ここでAを元に戻し
y=(1/3)(x+y-4)^3+C

お礼

すこし答えは違いましたが、考え方は参考になりました。ありがとうござました。