ガウスの定理

質問

ガウスの定理の証明を眺めて５時間、理解できません。やっていることは面積分⇔体積積分ということですよねぇ。
だれか分かりやすく証明してもらえないでしょうか。
出来れば電磁気学の例を出してどのように使えばいいのかも教えていただけないでしょうか？
例だけでも助かります。
お願いします。

回答No.6

nuubou

ｘ，ｙ，ｚをそれぞれ実数の変数としΔを正の実数としｌ，ｍ，ｎをそれぞれ整数とし
Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］を（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）から（ｌ・Δ＋Δ，ｍ・Δ＋Δ，ｎ・Δ＋Δ）に引いた直線を対角線とする立方体内部の領域とし
Ｓ［ｌ，ｍ，ｎ］をＶ［ｌ，ｍ，ｎ］の表面の領域とし
Ｓ［ｍ，ｎ］≡｛（ｙ，ｚ）｜ｙはｍ≦ｙ／Δ≦ｍ＋１である実数、
ｚはｎ≦ｚ／Δ≦ｎ＋１である 実数｝とし
Ｓ［ｎ，ｌ］≡｛（ｚ，ｘ）｜ｚはｎ≦ｚ／Δ≦ｎ＋１である実数、
ｘはｌ≦ｘ／Δ≦ｌ＋１である 実数｝とし
Ｓ［ｌ，ｍ］≡｛（ｘ，ｙ）｜ｘはｌ≦ｘ／Δ≦ｌ＋１である実数、
ｙはｍ≦ｙ／Δ≦ｍ＋１である 実数｝とし
ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）をＳ［ｌ，ｍ，ｎ］上の点（ｘ，ｙ，ｚ）においてＳ［ｌ，ｍ，ｎ］に垂直でＶ［ｌ，ｍ，ｎ］外部に向かう大きさ１のベクトルとし
Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）を点（ｘ，ｙ，ｚ）におけるベクトルとし
●を内積演算とする

（ｙ，ｚ）を固定すれば
∫（ｌ・Δ～ｌ・Δ＋Δ）ｄｘ・（∂／∂ｘ）・Ｅｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
Ｅｘ（ｌ・Δ＋Δ，ｙ，ｚ）－Ｅｘ（ｌ・Δ，ｙ，ｚ）
従って
∫∫∫（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］ｄｘｄｙｄｚ・（∂／∂ｘ）・Ｅｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
∫∫（ｙ，ｚ）∈Ｓ［ｍ，ｎ］ｄｙｄｚ・（Ｅｘ（ｌ・Δ＋Δ，ｙ，ｚ）－Ｅｘ（ｌ・Δ，ｙ，ｚ））
同様にして
∫∫∫（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］ｄｘｄｙｄｚ・（∂／∂ｙ）・Ｅｙ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
∫∫（ｚ，ｘ）∈Ｓ［ｎ，ｌ］ｄｚｄｘ・（Ｅｙ（ｘ，ｍ・Δ＋Δ，ｚ）－Ｅｙ（ｘ，ｍ・Δ，ｚ））
∫∫∫（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］ｄｘｄｙｄｚ・（∂／∂ｚ）・Ｅｚ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
∫∫（ｘ，ｙ）∈Ｓ［ｌ，ｍ］ｄｘｄｙ・（Ｅｚ（ｘ，ｙ，ｎ・Δ＋Δ）－Ｅｚ（ｘ，ｙ，ｎ・Δ））
上式を辺辺加え合わせて
∫∫∫（（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］）ｄｘｄｙｄｚ・ｄｉｖ（Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ））
＝∫（Ｓ∈Ｓ［ｌ，ｍ，ｎ］）ｄＳ・ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）●Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）
ただし右辺の積分内においてｄＳをＳ［ｌ，ｍ，ｎ］の無限小分割平面の面積とし（ｘ，ｙ，ｚ）を前記無限小分割平面上の点とする

従ってＶ［ｌ，ｍ，ｎ］においてはガウスの定理が成立する
従って任意の閉曲面の内部にＶ［ｌ，ｍ，ｎ］を敷き詰めてできた立体についてもガウスの定理が成立する
Δを小さくしていけば前記立体の体積積分が前記閉曲面内部の体積積分に限りなく等しくなり前記立体表面の面積分が前記閉曲面の面積分に限りなく等しくなるので前記閉曲面についてもガウスの定理が成立する

「限りなく等しくなる」の証明の骨子：
（１）
ｐを面積Ｓの平面としｎ≡（α，β，γ）をｐの単位法線ベクトルとし
ｐのｙｚ平面への射影の面積をＳｘとし
ｐのｚｘ平面への射影の面積をＳｙとし
ｐのｘｙ平面への射影の面積をＳｚとすると
Ｓｘ＝Ｓ・α，Ｓｙ＝Ｓ・β，Ｓｚ＝Ｓ・γであるから
Ｓ・ｎ＝（Ｓ・α，Ｓ・β，Ｓ・γ）＝（Ｓｘ，Ｓｙ，Ｓｚ）である
Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚをそれぞれ実数とし Ｅ＝（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）とすれば
Ｓ・ｎ●Ｅ＝Ｅｘ・Ｓｘ＋Ｅｙ・Ｓｙ＋Ｅｚ・Ｓｚである
（２）
ｘ＝ｌ・Δ　（ｌ＝０，±１，±２，±３，・・・）の平面と
ｙ＝ｍ・Δ　（ｍ＝０，±１，±２，±３，・・・）の平面と
ｘ＝ｎ・Δ　（ｎ＝０，±１，±２，±３，・・・）の平面で
前記閉曲面を切断し前記閉曲面上に切断閉曲線を作る
すると前記閉曲面は前記閉曲線で囲まれた曲面で分割される
前記分割曲面をｘｙｚ３方向に前記立体表面上へ射影する
するとほぼ前記射影面が前記立体を構成する立方体のむき出しの面に１：１対応することが分かる
対応しなかった射影の面積の総和はΔを限りなく小さくすれば限りなく小さくなる

ストークスの定理の証明手順：
（１）
（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）－（ｌ・Δ，ｍ・Δ＋Δ，ｎ・Δ＋Δ）が対角線の正方形について証明し
（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）－（ｌ・Δ＋Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ＋Δ）が対角線の正方形について証明し
（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）－（ｌ・Δ＋Δ，ｍ・Δ＋Δ，ｎ・Δ）が対角線の正方形について証明する
（２）
適当な（ｌ，ｍ，ｎ）で複数の前記正方形をつなぎ任意曲面を近似する
（３）
Δを小さくしていけば両線積分が限りなく等しくなり両面積分が限りなく等しくなることを示す