相対論で・・・

質問

『相対論』（岡村浩著）Ｐ９３（４．２６）に

「相対論では、
　kx-ωt = k'x'-ω't' 」

とありますが、
　kc=ω　、x=ct の関係を使うと

　kx-ωt = (ω/c)ct-ωt = 0
になってしまいます。

どうやったら

　kx-ωt = k'x'-ω't'

になるのでしょうか？

お願いします。

回答No.7

endlessriver · ベストアンサー

２，３の本を見てみましたがkx-ωt = k'x'-ω't' は、これが成り立つとしてk',w'を求めるために使われていました（ローレンツ変換を使って）。

ちらっと見ただけですが不変量の成立する理由を書いてないのであの「物理法則は慣性系で不変」の要請によっているのではないでしょうか。sin(kx-ωt)が不変でsin(k'x'-ω't')となる。

あと、位相の差は原点での時刻あわせを使って。

お礼

＞２，３の本を見てみましたが
＞kx-ωt = k'x'-ω't' は、これが成り立つとして
＞k',w'を求めるために使われていました
＞（ローレンツ変換を使って）。

そうなんですよ。
私も図書館で５、６冊見てみましたが、おっしゃるように
kx-ωt = k'x'-ω't' が成り立つとしてk',w'を求める
のしか見つけられませんでした。

＞「物理法則は慣性系で不変」の要請に
＞よっているのではないでしょうか。

なるほど、そうかも知れません。
kx-ωtは波の位相ですから、どの慣性系でとっても不変でないといけないということですかね？（あってますか？）

それにしても、わざわざ調べていただいて、とても恐縮してます。ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.9

endlessriver

やはり不安な点が指摘されました。(^_^;)そこで、もう少し考えてみました。
メラーの本（ちよいと古い）に(ガリレイ変換で)位相は不変量と言う説明が載っていた。解りづらいのですが私なりに以下のように理解した。

まずt=t'=0で原点x=x'=0での光波の点に目印Aをつけます。また、S系の座標(x,t)はS'系で座標(x',t')であるとします。

光波の式の中身は
F=(1/2π)(wt-kx)=ν(t-x/c)となりこの式は原点を出た光波Aがxに到達してから時刻tの間にxを通過する波数になります。同様にF'=ν'(t'-x'/c)はAがx'に到達してから時刻t'までx'を通過する波数になります（t<x/cなら負だ!なんて言わないで。説明のあやなので）。

(x,t)と(x',t')は同じ場所（同じ時空？言葉が正しいかちょっと不安）であり、通りすぎた波数（xとA間の波数とx'とA間の波数）という現象は同じなのでF=F'。すなわち、元の不変式が得られます。位相が不変は波数が不変ということになります。

お礼

回答ありがとうございました。

自分で質問しておきながら、同じ「相対論」岡村浩先生著を読み進めていくと、載っておりました(^-^;

その教科書のＰ１９４に

「平面波の位相は座標のとり方によらないと考えるのが妥当でしょう。
１次元の波を考え、座標系Ｓ（x,t）、座標系Ｓ’（x',t'）を考えます。
平面波の位相は、座標系Ｓでは kx-ωt、
座標系Ｓ’では k'x'-ω't'
でこれが等しい、すなわち
kx-ωt = k'x'-ω't' 」
とありました。

やはり「平面波の位相は座標のとり方によらない」が正解みたいです。

いろいろ考えていただいて感謝しています。
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.8

ojisan7

endlessriverさんの、おっしゃる通りだと思います。言葉が足りなくて申し訳ありません。古典力学の極性ベクトルは、相対論へ移行するときには、普通、四元ベクトルとして表されます（そのとき、第四成分は何かを吟味する必要がありますが）。これは、慣性系で不変の要請によるものです。四元ベクトル同士の内積は必然的に不変量となります。以下に行った、kx-ωt = k'x'-ω't'の計算はこのことの確認をしたことになります（必要がないと言われればそれまでですが）。波数ベクトルｋも極性ベクトルですから、相対論へ移行するには、角周波数ωを第四成分に加えて、四元波数ベクトル(k,ω/c)になります。このとき、第四成分はローレンツ不変の要請にあうようにしておかなければなりません。

お礼

回答ありがとうございました。

自分で質問しておきながら、同じ「相対論」岡村浩先生著を読み進めていくと、載っておりました(^-^;

その教科書のＰ１９４に
「平面波の位相は座標のとり方によらないと考えるのが妥当でしょう。
１次元の波を考え、座標系Ｓ（x,t）、
座標系Ｓ’（x',t'）を考えます。
平面波の位相は、座標系Ｓではkx-ωt、
座標系Ｓ’ではk'x'-ω't'でこれが等しい、
すなわち
kx-ωt = k'x'-ω't' 」
とありました。

やはり「平面波の位相は座標のとり方によらない」が正解みたいです。

いろいろ考えていただいて感謝しています。
ありがとうございましたm(_ _)m

補足

回答ありがとうございます。
申し訳ないのですが、私は相対論初心者なので(^-^;

＞（そのとき、第四成分は何かを吟味する必要がありますが）
＞相対論へ移行するには、
＞角周波数ωを第四成分に加えて、
＞四元波数ベクトル(k,ω/c)になります。
＞このとき、第四成分はローレンツ不変の要請に
＞あうようにしておかなければなりません。

ここらへんがよく理解できてません。
もう少し勉強してから、お礼の書き込みをしたいと思います。
誠にすみません。

回答No.6

ojisan7

すみません。計算ミスをしていました。No4の回答は撤回させて下さい。kx-ωt = k'x'-ω't'の式は光速の波動でなくても成り立ちそうです。（ローレンツ変換の式だけで、その他の一切の仮定は必要ありません。）お詫びのしるし、というのも変ですが、考え方のヒントをもう少し詳しく説明します。

（x,ｃt）の座標がローレンツ変換でどのように変換されるかはご存じだと思います。波数ベクトルk、角周波数ωの波動は、(k,ω/c)という、四元ベクトルとして表現できます。この四元ベクトルを、ローレンツ変換すれば目標とする、
kx-ωt = k'x'-ω't'
の式を導くことができます。

回答No.5

ojisan7

ついでですので、補足をさせて下さい。もし、この波動が光であるならば、
kx-ωt = k'x'-ω't'
は成り立ちます。kc=ω　は正しいですが、x=ct は誤りです。x,tは任意の値でかまいません。

考え方のヒントは、ローレンツ変換の式を使うということです。

回答No.4

ojisan7

kを波数ベクトル、ωを角周波数と解釈して計算してみました。波の位相速度をuとすると、
ku=ω　
の関係式が成り立ちます。ローレンツ変換の式を使い、
kx-ωt = k'x'-ω't'　（＠） 　
が成り立つための条件を求めると、わたしの計算に誤りがなければ、
u'＝ｖ±√{v^2-c^2}
となります。u'が実数であるためには、v≧c　でなければなりませんから、結局、
u'＝v＝c
となります。したがって、（＠）の式を満たすためには、このk,ωの波は光（光速の波動）のみであることが分かります。

お礼

>No4の回答は撤回させて下さい。
>kx-ωt = k'x'-ω't'の式は光速の波動でなくても
>成り立ちそうです。

了解しました。
ご丁寧にありがとうございますm(_ _)m

回答No.3

ojisan7

>「相対論では、kx-ωt = k'x'-ω't' 」

ということですが、『相対論』（岡村浩著）で使われているk,ωの文字の意味が分かりませんが、内積が不変であることが分からないということでしょうか？そうならば、普通よく使われている文字を使えば、
x^2-(ct)^2 ＝ (x')^2-(ct')^2　（＊）
が、どうして成り立つのか、と言うことだと思います。
x^2-(ct)^2 ＝ 0
としたのでは、光についての式ですね。光速以外の一般的な物質について、式（＊）を導くには、ローレンツ変換の式を使います。後は、ご自分で考えて下さい。

お礼

『相対論』（岡村浩著）の注釈に

「kx-ωt は波の位相です。
　波長は (2π)/k
　振動数は ω/(2π)　」

と書かれてることから、
k：波数
ω：角振動数
だと思います。

>普通よく使われている文字を使えば、
>x^2-(ct)^2 ＝ (x')^2-(ct')^2　（＊）
>が、どうして成り立つのか、と言うことだと思います。
>x^2-(ct)^2 ＝ 0
>としたのでは、光についての式ですね。
>光速以外の一>般的な物質について、式（＊）を導くには、
>ローレンツ変換の式を使います。
>後は、ご自分で考えて下さい。

なるほど、ヒントありがとうございます。
もう一度、考え直してみます。

ありがとうございました♯ρ(^∇^*)♭♪

回答No.2

atomicmolecule

光に対してwt-kx=0なのは当然として、それが不変になることを示したいんですから、「何に対して不変だといっているのか？」を良く考えてください。つまりt'とかx'と書いているのは何ですか？それさえ分れば

wt-kx=(w,k).(t,x)

は相対性理論での内積の形になっている事に注意して（相対論では内積は不変です）、その不変性を示せばよいのではないでしょうか。つまり問題は内積が不変だということを理解しているかどうかではないんでしょうか。それとももっと別の疑問なんでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。
いろんな教科書をあたって
少し調べてみることにします。

回答No.1

sanori

良く覚えてないんですが、
「ｋｘ－ωｔ」って、三角関数とか複素指数関数の中に入る数で、要は、相対論に限った話じゃなくて波動一般で出てくる概念ですよね？

sin(kx-ωt)
ｅ^(i(kx-ωt))

という感じで。

・位置ｘを固定して時刻ｔだけ変数として考えれば、
　その場所の位相は－ωｔの周期で変わり

・時刻ｔを固定して位置ｘだけ変数として考えれば、　ある地点からｘメートルずれるにしたがってｋｘずつ位相がずれていく

つまり、
「ｘは、光が今いる場所」
ではなく、
「光が場所ｘで、どういう位相になってるか」
です。

すなわち、
ｘはｔとは独立な変数です。

一方、
あなたが仮定しているのは、
ｘ＝ｃｔ
という条件でした。

ｘ＝ｃｔとは、速さ×時間、
つまり、「光がｔ秒後までに進む距離」ですよね？

このとき、ｘは時刻ｔの関数であって、したがって、ｘとｔとは独立変数ではありません。

あなたが
ｘ＝ｃｔ
とおくことにより
ｋｘ－ωｔ＝０
という結果になったのが何を意味するかというと、

「光が速さｃで走っていってｃｔだけ進む間に、ｘ座標系という名の方眼紙自体もｘ＝ｃｔ移動する」

という、時間依存の座標変換を行なっていることになります。

いつまで経っても、その場所の位相は一定になりますから、

ｋｘ－ωｔ＝定数

という結果になるのは当然です。

そして、時刻ｔ＝０において場所ｘ＝０という初期条件をおけば、

ｋｘ－ωｔ＝０

となります。

つまり、ｘがｔの関数であるという仮定が誤りだということになりました。

お礼

回答ありがとうございます。
私の仮定は確かに間違ってますね。

しかし、どうやったら
　kx-ωt = k'x'-ω't'
になるのでしょうか？

うーんε～(;@_@)