Γ関数でnに1/2を代入した場合

質問

Γ関数は、nが0ないし自然数の時に、n!と同値なことは理解できましたが、Γ関数は階乗を一般化したものという教科書の記載があったので、n=1/2の時を求めようと悪戦苦闘をしましたが、だめでした。数値が求まるのでしょうか？求まるなら、どのようにすればいいのでしょうか。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

tatsumi01 さんの言われるように，積分を実行すればよいわけですが，
質問者の peror さんの補足にありますように

> 自然数の時は、部分積分を続けていけば、s!に辿り着くので、
> 同様に、この場合3/2を代入して、部分積分を駆使していたんですが、
> 値を決定できる式に辿り着けなかったんです。

となってしまいます(あれ，S=1/2 を代入？)．
つまり，
(1)　　Γ(s) = ∫e^(-x)x^(s-1)dx
で s=1/2 とおいたものの不定積分は初等関数では表されません．

しかし，今は 0 から∞までの定積分なので，
値を求める方法はいくつかあります．

【A】 (1)で x = t^2 とおく．
dx = 2t dt ですから，整理すれば
(2)　　Γ(s) = 2 ∫{0→∞} e^(-t^2) t^(2s-1) dt
です．
s=1/2 とおくと，ちょうど 2s-1=0 で t^(2s-1) = 1 ですから
(3)　　Γ(1/2) = 2 ∫{0→∞} e^(-t^2) dt
となります．
これは有名なガウス積分で √π になることはよく知られています．
このサイトでも繰り返し質問と回答があります．
結局
(4)　　Γ(1/2) = √π

【B】 (1)で x = t^(1/s) とおく．
dx = (1/s) t^{(1/s)-1} dt ですから，整理すると
(5)　　Γ(s) = (1/s) ∫{0→∞} e^{-t^(1/s)} dt
になります．
(5)で s=1/2 とおくと(3)と同じものになります．

s=1/2 としてしまうと【A】と【B】は同じ置換をしていることになりますが，
s を残しておくと(2)と(5)はΓ関数に対する相異なった積分表示になります．

【A】【B】ではΓ関数の一番基本的な定義の積分表示から直接求められる
方法を紹介しました．
他にも方法はあります．

【C】Γ関数の恒等式を使う方法
Γ関数の恒等式として
(6)　　Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs)
が知られています．
(6)で s=1/2 とおくと，直ちに Γ(1/2) = √πが得られます．
でも，(6)を導くのは多少面倒です．

(4)がわかれば，
(7)　　sΓ(s) = Γ(s+1)
を使って，奇数の n に対するΓ(n/2) の値は全部求められますね．

お礼

回答ありがとうございます。【A】の方法が、理解できました。【C】の方法ですが、リーマンのところで、習っていたことを思い出しましたが、当時は、なんの役に立つのか全くわかりませんでした。幸いにも(6)は、私の蔵書に証明がありました。格闘してみます。

回答No.5

atomicmolecule

＃２さんの解答で尽きていますが書かせてください。

整数の場合　部分積分でΓ(n+1)=n!　を出したそうですが、その導出過程をふりかえって見てください

Γ(n+1)=n Γ(n)

を導出するのは部分積分で出来ますが、結局Γ(n+1)=n!*Γ(1)に帰着し、Γ(1)は積分して求めたはずです。よってΓ(x) x∈[0,1] は基本的には積分して求めるわけです。（その他の関係式から求める方法を＃３、４番の方が述べています）
つまり、全てのΓ(x)は部分積分によってΓ(x), x∈[0,1]を求める問題にきちゃくしますが[0,1]の値は具体的に積分を遂行する（または別な方法）しかないということです。

お礼

回答ありがとうございます。
　記載していただいた事は理解できます。しかし、最終的に、例えば1/2の時積分が実際にある値に定まるかを知りたかったので、私の疑問は、その先にあったのです。

回答No.4

yoikagari

こんなやり方もあります
Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)=Β(x,y)・・・※
を利用するやり方です。

Γ(1/2)Γ(1/2)=Γ(1)*Β(1/2,1/2)=Β(1/2,1/2)
Β(1/2,1/2)はベータ関数です。
Β(1/2,1/2)=∫{0→1} t^(-1/2){(1-t)^(-1/2)}dt
t=sin^2θと置換するとdt=2sinθcosθdθ
∫{0→1} t^(-1/2){(1-t)^(-1/2)}dt=2∫(sinθcosθ)^(-1)*(sinθcosθ)dθ=2∫{0→π/2}dθ=π
よってΓ(1/2)=√πとなる。

あとはガンマ関数の倍数公式
Γ(x/2)Γ{(x+1)/2}=π^(1/2)Γ(x)/2^(x-1)・・・○
でx=1と置いても
Γ(1/2)=√πは導けます。

因みに、siegmundさんがあげた
Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs)・・・△
は「相補公式」と呼ばれるものです。

※,○,△の証明は申し訳ありませんが、解析学のテキストを見てください。

お礼

回答ありがとうございました。
とっくに大学を卒業した身で、数学をやり直しているところでして、ベータ関数は全く記憶にありません。やり直していく過程で、出くわしたら、もう一度、ここに戻って計算してみます。

回答No.2

tatsumi01

「Γ関数は、nが0ないし自然数の時に、n!と同値なこと」を理解されたそうですが、
Γ(s) = ∫e^(-x)x^(s-1)dx (積分範囲は 0,∞)
という定義から理解されたのでしょうか。
この定義で s が整数である必要がありませんが、s が整数のときは Γ(s+1) = s! と一致するわけです。したがって、上式の定義は n! の拡張と考えられます。
s = 1/2 のときも上式の積分を実行すれば良いわけです。

お礼

回答ありがとうございました。
実際に、全ての複素数で、有限回の操作で、値を決定できる積分ができるのでしょうか？私の分を超えていそうですので、複素数の場合までは手を広げないことにしますが。

補足

>s = 1/2 のときも上式の積分を実行すれば良いわけです。

　そこまで、アホではありません。自然数の時は、部分積分を続けていけば、s!に辿り着くので、同様に、この場合3/2を代入して、部分積分を駆使していたんですが、値を決定できる式に辿り着けなかったんです。

回答No.1

endlessriver

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