恒等式

質問

すべての定数ｘに対して、
　　　　　cos(x+α)+sin(x+β)+√2cosx
が一定になるようなα、βを求めよ。正し、0<α<180,0<β<180とする。

この問いで、『すべての定数ｘ』と書いてあったから、ｘに適当な数を代入して
連立して解いてみたのですが、うまくいきません。どのようにしたらよいでしょうか？

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

たぶんですが。。。
0<α<180,0<β<180では、この式では解がないような気がしますが。。。
問題の式のどっかの符号か、もしくはα、βの定義域が違ったりしませんか？

考え方は、
1.加法定理で Acosx + Bsinx の形にすることができる。（A,Bはα、βを含む式）
2.（三角関数の合成を考えると）これがすべてのxについて一定であるためには、A^2+B^2=0 すなわちA=B=0であることが必要十分。→未知数α、βの２つに対して、条件式２つ完成。

ということなのですが、cosxの係数が、cosα+sinβ+√2となり、0<β<180よりsinβ>=0、かつcosα>=-1より、この係数は、-1+√2以上、すなわち0になることはありません。。。

ということで、+√2の符号が違う、もしくはα、βの定義域が0-360度であることを希望。。。(^^;)