ノイズとポアソン分布？

質問

「ノイズが限りなく小さいとき、その値の分布は、ポアソン分布に従う。」というのを聞きました。
逆にいうなら、これは、その値の分布がポアソン分布に従うのなら、ノイズが限りなく小さい状態であり、これが真に限りなく近い値であると証明することができると考えています。一応、ポアソン分布の勉強はしてみたのですが、どのようにしたらいいのか全然解らないのです。

ちなみにわたしは、化学でレーザーを用いた研究を行っていまして、溶質にレーザー光を照射することで溶質をイオン化させ、その上下に電極を配することで電極間に流れる溶質のイオン化電流値を測定しています。
（わからなかったら、ここは無視して頂いて結構です。）

すこし、マニアックな説明になりましたが、簡単にいいますと、電流値をいくつかとって、その電流値の分布がポアソン分布になるのかどうかを確かめ、ノイズの影響をうけているのかいないのかを確かめたいんです。

この電流値の分布をどうにかしてポアソンフィッティングできないでしょうか？
良い方法があればどうか教えてください。
また、ポアソン以外の方法があれば、教えていただければ嬉しく思います。

化学の分類に投稿していたのですが、「数学に聞いた方が・・」という意見がありましたので数学の世界にチャレンジです。
わたしは、化学専門ですのであまり難しい説明は、ちょっとついていけないかもしれないです。
あつかましいとは存じますが、数学専門の方々よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

専門家じゃないのですが、

> 逆にいうなら、これは、その値の分布がポアソン分布に従うのなら、ノイズが限りなく小さ
> い状態であり、これが真に限りなく近い値であると証明することができると考えています。
そうは行きません。
「ノイズが小さいときポアソン分布に従う。」
というのは正しいとする。でも、だからといって
「ノイズが大きいときポアソン分布に従わない。」とか
「ポアソン分布に従うのなら、ノイズは小さい。」
とは言えません。
例えば普通の電球みたいな光源から出る、単位時間当たりの光子の数を数えると、ポアソン分布をしています。分散が平均と等しい分布です。でも、光子の数がうんと多い場合にはもう、正規分布で近似しちゃっても構わない。
ポアソン分布と正規分布の違いは、
　前者は確率変数が0未満の値を取らない。後者は±∞の範囲の値を取りうる。
　前者は確率変数が整数値しか取らない。後者は実数値を取る。
ということで、正確に言えば「光子の個数」を数えている以上、ポアソン分布を常に使うのが正しい。でも計算がめんどくさいから、正規分布で近似してしまう。個数がうんと多くなれば、それでも実用上間に合うことが多いです。

　さて、「電流値の分布をどうにかしてポアソンフィッティングする」という問題の方ですが、確率変数rが非負の整数であって、
P(λ;r) = (λ^r)exp(-λ)/r!
というのがポアソン分布でした。測定なさっているのは電流xであって、つまり
x = αr
というようなものを測っていらっしゃると思われます。ゆえにxの分布は
P(λ,α;x) = (λ^(x/α))exp(-λ)/(x/α)!
という形で表される筈。
rが或る程度大きいなら、r!はスターリングの公式で
r! ≒ (√(2rπ) )(r^r)exp(-r)
と近似でき、従ってxの確率密度φ(x)のモデルは
φ(x) = (λα/x)^(x/α))exp((x/α)-λ)/(√(2(x/α)π) )
ちゅうことになります。このモデルを実測したxの確率密度に、非線形最小二乗法などを使ってフィッティングしてαとλを決めてやれば良いようですね。（実験装置の構成によってはαは既知かもしれず、だとすると話は大分簡単になります。）
　そうやって求めた最尤のαとλで記述されるモデルと、実測した確率密度を比べて「両者が合っている」ようなら、このモデルは成功らしい。
　「両者が合っている」という事を統計的検定で証明するのは、残念ながら不可能です。そうではなく「両者が合っている」という帰無仮説を立てて、これを棄却する（合っていないと判定する）ことの危険率を求める。
例えば1%の危険率で棄却できるなら、「99%の確率で両者は合っていない」と言えます。でも、例えば0.1%の危険率では棄却できない、という場合に「99.9%の確率で両者は合っている」と言ったら、これは大間違いですね。
　帰無仮説は棄却出来る場合にだけ物が言える、というのが大原則ですから、「α,λのポアソン分布に合っている」を示すことはできない。しかし例えば非常に高い危険率でも棄却できない、という場合に「α,λのポアソン分布に似ている」とだけ言える。

回答No.1

sen-sen

「ノイズが限りなく小さいとき、その値の分布は、ポアソン分布に従う。」が正しくないかもしれません。ある観測時間内にある溶質分子（？）にノイズの原因となるイオン化が起こる確率が小さく、観測する溶質中の分子数が多い場合には、ある観測時間にノイズが発生する数（電流はそれに依存するかもしれません）がポアソン分布に従うのではないでしょうか。ノイズがこのモデルで説明できるかどうかは、ノイズデータの分布を調べて、分布の分散を確認したり、ポアソン分布との適合度を調べてみてはいかがでしょうか。また、ある観測時間内にある溶質分子（？）にノイズの原因となるイオン化が起こる確率が相対的に多い場合には、二項分布（ポアソン分布は二項分布の特殊型ですが）に近似して議論してはいかがでしょうか。