どうでもいいこと

質問

たいしたことじゃないんですが、数学的帰納法、あれ？おかしくない？なんか変。証明になってないって思った方いますか？

回答No.5

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

No.1 の方の回答で正解です。
それが自然数の性質なのです。逆に言えば、「嘘っぽい」という感性はそれはそれで正しいのです。
数学的帰納法は、自明のものではなくて、自然数の性質として成立するものですから。

あと、数学で、「すべての……成立する」というのは、たいとえば、自然数を全部並べてみて、確かに成立するというのとは、少しニュアンスが違います。実際、無限にあるものをすべて並べるのは不可能ですから。
たとえば、「すべての自然数で……が成立する」というのは、「自然数を勝手に一つとってくると、どんな場合でも、その自然数に対して……が成立する」言い換えると、「……が成立しない自然数は存在しない」という意味です。
こういう考え方のもとに、初めて無限にあるものを厳密に扱うことができます。

No.3 の回答にある例では
「Ｎ＋１　を無限に続けることなど、できません」というのは、実際正しいので、数学的に厳密な意味は、「Ｎが何であってもＮ＋１ができる」「Ｎ＋１ができないようなＮは存在しない」という意味です。

「無限にあるものを、１対１対応させることなど、できるはずがない」も、確かにできません。
だから、「どのような自然数をとってきても１対１対応できるようなルールが存在する」だし、「このルールで１対１対応できないような自然数は存在しない」なのです。

このあたりは、１９世紀の終わりに、「数学の危機」とまで呼ばれて、大騒ぎになり、結局このような厳密な意味づけ＝無限を直接扱わない方法が編み出されました。

お礼

皆さん、ご丁寧にいろいろな意見をにありがとうございます。

回答No.10

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.5 です。
確かに、数学的帰納法は将棋倒しのようでもありドミノ倒しのようでもあるのですが、ここで、不安が出てくるというのは

・確かに、見える限りのどの駒も倒れるけれど、「無限にある駒の全部が」倒れるのか？　という不安。

・確かに、一列になっているものは倒れるけれど、自然数の中にいわば独立した列はないのだろうか？　もしあれば、それは倒れないけど？

というものだと思います。
全社に対しては、「無限にある駒の全部」は確認できないので、「理論的に倒れない駒は存在しない」ことで、すべてが倒れるとするのが、数学の立場です。

また、後者については、そのような「独立した列が存在しない」ことは、単独では証明できません。
そこで、「公理」という形で、独立した列はない＝自然数は、全部が一列に並んでいる、と言う性質を定義しておくわけです。
（ついでに、そういう定義をしても矛盾がないというのは証明できているようです）

お礼

いろいろとありがとうございます。皆さんがたくさんの意見をぶつけ合ってくれたおかげで、少し帰納法に対する苛立ち(？笑)がなくなりました。他にも質問をすることがあるかもしれませんので、そのときはまたよろしくお願いします。

回答No.9

noname#16397

ちゃんと証明になってますよ。
高校の時の数学の先生がこのように教えてくれました。

たくさんの人が次の２つのルールで１列に並んでいます。
１　その先頭の人は男です。
２　適当な場所に男がいたとして、そのすぐ後ろも男です。
この列はすべて男性の列ですがわかりますか？

この考え方を自然数の列に置き換えたのが数学的帰納法です。
１　ｎ＝１の時成り立つ(＝先頭が男)
２　ｎ＝ｋの時成り立つ(適当な位置が男)と仮定してｎ＝ｋ＋１ｋ時成り立つ(すぐ後ろも男)。

数学教師となった今、ほぼ同じ方法で数学的帰納法の授業の導入をしています(^^)。

回答No.8

yoikagari

前の方もおっしゃていますが、数学的帰納法は将棋倒しみたいなものです。

要するに、数学的帰納法は
プロセス1.n=1のときは正しいことを証明する
プロセス2.n=kのとき正しいと仮定したとき、n=k+1のときも正しいことを証明する

1と2のプロセスが正しければ、以下のようなことがいえます。

プロセス1よりn=1のときは正しい。
よって、プロセス2よりn=1+1=2のときも正しい。
よって、プロセス2よりn=2+1=3のときも正しい。
よって、プロセス2よりn=3+1=4のときも正しい。
…
100でも1000でも納得出来るまで繰り返してください。
そして感覚で納得してください。

自然数の性質を論理だけではなく、感覚で理解してください。

回答No.7

mathematik

私は、数学的帰納法は「ドミノ倒し」のような物だと思っています。

　数学的帰納法の証明法を今一度、復習してみる…。

　数学的帰納法では、まずn＝１の時正しいことを確認する…１。それからｎが一般の値kでも成り立つと「仮定」する（この時点ではまだ、それが正しいかどうかわからないから）…２。そして、仮定したうえで今度はそれがn=k+1で正しいかどうか調べる…３。

　この三つのプロセスが全て正しかった場合、次の論法が成り立ちます。

　n=1の時は正しい。

　続いて、n=k+1でも正しいのでn=2の時も正しい。

　同じく、n=3の時も正しい。

　同じく…………つまり、全てのnに対して正しいことがわかる。

　って、これってなんか「ドミノ倒し」みたいな感じですよね。

回答No.6

moritan2

私は仕事の関係で、再帰的なプログラムを使うことがおおいのですが、再帰処理のプログラムを作る時は、

・引数が１の時に正しい結果が出る。
・引数が1～ｎで正しく結果が出せるとして、引数がn+1の時には引数が1～nの結果を利用して結果が出せるようにつくる。

このように帰納的に正しく作れば、実際にnがどのような値でも正しい答えがでます。ですから私は、帰納法は単に頭で理解しているのではなく、体で納得しています。

もっとも、現実にはメモリと実行時間の問題があるので無限にはできませんが、もし時間とメモリがものすごく多ければ、将棋の解がわかるのに、などとと思っています。数学では時間もメモリも気にする必要はないのでいいですね。

回答No.4

N64

それから、「全ての」という言葉もおかしいですね。
「全ての自然数」を、テーブルにのせて、お見せすることなど、絶対にできません。でも、頭の中で、想像することはできるから、不思議です。そこが、人間の脳とコンピュータの違いかな、とも思います。

回答No.3

N64

同感です。それと、１対１対応　も。
Ｎ＋１　を無限に続けることなど、できませんし。
無限にあるものを、１対１対応させることなど、できるはずがない。でも、反論のしようがないんですねー。論理的に反論できない。クールに認めるしかない。

回答No.2

ren96

アレですか？
「ｎ＝ｎ+1」
になって・・・
パラドックスというやつですかな？＾＾
それなら妙に納得してしまった自分がいます。
数学の不思議はたくさんありますよね♪＾＾

回答No.1

proto

証明になってないって思ってました、最近まで。

でも信頼できる数学専攻の先生と話し合った結果。
自然数を定義する段階で帰納法を使って定義しているので、数学的帰納法は全てのnについての証明になっている、ってことみたいです。

逆に言うと数学的帰納法で全てのnを取り尽くせることが、自然数の性質ってことみたいです。

ちなみに自然数の定義(ペアノの公理)はこれ↓
・自然数 0 が存在する。
・任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
・0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
・異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
・0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。