均衡の性質について

質問

４つの線形の微分方程式からなるシステムがあります。
dx_i/dt = f(x_1, x_2, x_3, x4), i={1,...,4}

ベクトル表示でy=A*xとします（ｙはdx_i/dtからなる４Ｘ１のベクトル、Ａは４Ｘ４の行列、ｘはx_iからなる４Ｘ１のベクトルです）。

このシステムの均衡点（dx_i/dt = 0)の性質を知るためには、行列Ａのeigenvalueを見ればいいはずですが、Ａが２Ｘ２より大きい場合の判断の仕方が分かりません。

例えば、Ａが２Ｘ２の場合はeigenvalue(r1, r2)によって、r1＞r2＞0 ＝＞unstable, r1<r2<0 =>asymptotically stableなどと分けられるようです。

４Ｘ４のＡで、eigenvalueが｛a, -b, c, -d}(いずれも正の実数）の均衡点の性質はどのようなのでしょうか？

さらに、 ４Ｘ４のＡで、eigenvalueが｛a, -b+ki, -c-ji, -d}(いずれも正の実数, iは虚数）の均衡点の性質はどのようなのでしょうか？

ぜひよろしくお願いします。

回答No.4

nuubou · ベストアンサー

内容からてっきり理科系の方だと思っていたので失礼しました

漸近安定なのは（２）の場合だけです
すなわち
Ａの固有値の実部がすべて負であればシステムは漸近安定であり
逆に漸近安定なシステムはＡの固有値の実部がすべて負です

従って
「Ａの固有値の集合が{0.1, -0.2, 0.3,-0.4}」の場合は
０．１と０．３の存在によって適当な初期条件によって解のノルムが時間とともに限りなく増大します（不安定）
「Ａの固有値の集合が{0.1, -0.2+0.1i, -0.3-0.1i, -0.4}」の場合は
０．１の存在によって適当な初期条件によって解のノルムが時間とともに限りなく増大します（不安定）

固有値に虚部が有るかどうかは漸近安定の条件には全く関係ないです
ただ０に収束するさいの振る舞いは変わってきますが
不安定の場合には暴れ方が違ってきます
固有値の実部が０のものがある場合は初期条件を適当に選べば∞になるか振動するかします
システムを構成する場合にはＡの固有値の実部をすべて負にしないといけないのです
これは行列の次数がいくらであっても同じです

回答No.5

nuubou

Ａを実行列としｘ（ｔ）を実ベクトルとする
αを正の実数としβを実数とし－α＋ｉ・βをＡの固有値とすると
ｘ（ｔ）の成分はｅ＾（－α）ｃｏｓ（β・ｔ）の項とｅ＾（－α）ｓｉｎ（β・ｔ）の項を含んでいる可能性がある

固有値の虚部のふるまいはこの式から明らかでしょう
βは振動の角周波数になるのです
αは大きければ大きい程この項は急速に減衰することも分かるでしょう
従ってΛのなかの最もαが小さい固有値がシステムの安定度の指標になるのです

お礼

よーく分かりました。懇切丁寧にどうもありがとうございました。とてもとても役に立ちました！

回答No.3

nuubou

ｔを０以上の実数の変数してＮを自然数としてＡをＮ次正方複素行列としΛをＡのすべての固有値の集合としｘ［１］（ｔ），ｘ［２］（ｔ），ｘ［３］（ｔ），・・・，ｘ［Ｎ］（ｔ）をそれぞれ複素数値関数としｘ（ｔ）＝［ｘ［１］（ｔ），ｘ［２］（ｔ），ｘ［３］（ｔ），・・・，ｘ［Ｎ］（ｔ）］＾Ｔとしｄ（ｘ（ｔ））／ｄｔ＝Ａ・ｘ（ｔ）としたとき

（１）
Λの元に実部が正のものが有れば適当なｘ（０）に対して
ｔ→∞ならば∥ｘ（ｔ）∥→∞である

（２）
Λの任意の元の実部が負であれば
ｔ→∞ならば∥ｘ（ｔ）∥→０である

（３）
Λの任意の元の実部が０以下でありΛの元に実部が０のものが有れば適当なｘ（０）に対して
ｔを限りなく大きくしたとき∥ｘ（ｔ）∥が０に収束しない

（３－１）
Λの任意の元の実部が０以下でありΛの元に実部が０のものが有り
Ａをジョルダンの標準形に相似変換したとき２次以上のジョルダン細胞の対角成分になるΛの元の実部が少なくとも１つ０のものがあれば適当なｘ（０）に対して
ｔ→∞ならば∥ｘ（ｔ）∥→∞である

（３－２）
Λの任意の元の実部が０以下でありΛの元に実部が０のものが有り
Ａをジョルダンの標準形に相似変換したとき２次以上のジョルダン細胞の対角成分になるΛの元の実部がすべて負であれば
正の実数Ｍａｘが存在して∥ｘ（ｔ）∥＜Ｍａｘである

補足

nuubou様、返事遅れてどうもすみません。大変詳しいご回答どうもありがとうございます。あまりにも高度で私には完全に理解できないのが悲しいのですが。。。さて、ご回答によると行列Ａの固有値が例えば{0.1, -0.2, 0.3,-0.4}の場合は、（１）により、不安定（無限大になる）ですか？もう一つの場合、例えば{0.1, -0.2+0.1i, -0.3-0.1i, -0.4}の場合も同じでしょうか（（１）により不安定）？ 片方の均衡には複素数があり、もう片方にはないので性質は違うはずではないですか？

私は経済学の院生で動学ゲーム理論というモデルを使って環境問題を分析しているのですが、数学の知識が弱いので、もし質問の仕方が不明確、意図不明だとしたらごめんなさい。ぜひよろしくお願いします。

回答No.2

nuubou

Ａの固有値をλ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・・とすればｄｘ／ｄｔ＝Ａ・ｘの解ベクトルｘは
ベクトルの各成分がｔ＾ｎ・ｅｘｐ（ｒ［ｍ］・ｔ）　（ｍ，ｎは整数）の形の式の一次結合ではないですか？
従ってλ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・・の中に実部が正のものが有れば適当な初期条件で∥ｘ∥→∞になるのではないですか？
だからλ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・・の中に実部が正のものが有れば質問のシステムは不安定ではないでしょうか？
質問の意図は何でしょうか？

回答No.1

nuubou

Ａを正則行列によってジョルダンの標準形化すれば答えは明白でしょう
Ａの固有値の実部が正のものがあれば原点で不安定になるのは明らかでしょう
質問の場合だと両方とも解がｅｘｐ（ａ・ｔ）の因子を含む項があるのだから
不安定でしょう
何で悩むか理解に苦しむのですが
私が質問の意図が分かってないだけかもしれません