微分の階数

質問

微分の階数を有理数や実数に拡張することはできるでしょうか？
例えば、1.5階微分とかπ階微分とかってできるのかなぁ、ってことです。

sin(x)を微分するとcos(x)=sin(x+π/2)になり、
cos(x)を微分すると-sin(x)=sin(x+π)になり...
と位相がπ/2ずつ回るので、これから類推してsin(x)の1/2階微分は
sin(x+π/4)か？微分の階数って回転と何か関係があるのか？などと
かってに思ってますがどうなんでしょう。

回答No.5

siegmund · ベストアンサー

以前に物理数学の講義でほんのちょっとだけ触れたことがあります．
そのときのノートを引っ張り出してみました．
所詮，物理屋の数学ですから穴だらけでしょうし，
そんなに深く勉強したわけではありません．

微分階数の非自然数化の萌芽はすでにライプニッツにあるようで，
オイラー，ラグランジュ，リウビル，リーマン，などの仕事があります．

pierrot2002 さんの言われるように，
もともと微分は自然数の回数に対してのみ定義されたものです．
でも，やっぱり拡張したいという願望はありますね．

例えば，階乗はもともと自然数に対してしか意味がありませんでしたが，
オイラーの第２種積分
(1)　　Γ(z) = ∫{0～∞} e~(-t) t^(z-1) dt
が Γ(n+1) = n! (n:自然数)になることを手がかりにするなどして，
矛盾なく実数さらには複素数まで拡張できました．

微分の場合も，拡張の手がかりは自然数階微分に対して成り立つ一般式にあります．
いくつか考えられます．

【Ａ】 フーリエ変換
ibm_111 さん，stomachman さん，の手法です．
フーリエ変換してしまえば，微分は単なる掛け算になりますから，
それを手がかりにしようというわけです．

【Ｂ】 ラプラス変換
フーリエ変換とよく似た事情です．

【Ｃ】 微分のもともとの定義からの拡張
f(x) の１階微分は
(2)　　df/dx = lim_{δ→0} δ^(-1) {f(x) - f(x-δ)}
です．
{　} のところは {f(x+δ) - f(x)} と書く方が多いですが，
上の表現の方があとの式が簡単になるので(大したことはありませんが)
こうしました．
f(x) の２階微分は
(3)　　d^2 f/dx^2 = lim_{δ→0} δ^(-2) {f(x) - 2f(x-δ) + f(x-2δ)}
f(x) の３階微分は
(4)　　d^2 f/dx^2 = lim_{δ→0} δ^(-3) {f(x) - 3f(x-δ) + 3f(x-2δ) - f(x-δ)}
f(x) のｎ階微分は
(5)　　d^n f/dx^n = lim_{δ→0} δ^(-n) Σ{j=0～n} (-1)^j C(n,j) f(x-jδ)
ただし，C(n,j)はｎ個のなかからｊ個とる組み合わせの数．
で，C(n,j)を階乗を使って表した表現で，階乗をΓ関数で書き換え，
ｎを連続変数化．

【Ｄ】x^p の高階微分公式
(6)　　d^n x^p/dx^n = p(p-1)(p-2)・・・(p-n+1) x^(p-n)
　　　　　　　　　　= {Γ(p+1)/Γ(p-n+1)} x^(p-n)
で，ｎを連続変数化．
例えば，
(7)　　d^(1/2) x /dx^(1/2) = 2√(x/π)
(8)　　d^(1/2) 1 /dx^(1/2) = 1/√(πx)
定数 1=x^0 の微分は結果がゼロではないあたりが不思議と言えば不思議です．
テーラー展開できる関数についてはこの方式がわかりやすいですかね．

【Ｅ】コーシーの繰り返し積分定理
(9)　　∫{a～x} dx_{n-1}∫{a～x_(n-1)} dx_{n-2} ・・・∫{a～x_0} f(x_0) dx_0
　　　　= {1/(n-1)!} ∫{a～x} (x-y)^(n-1) f(y) dy
から，積分の逆演算が微分だから(7)の右辺でｎの代わりに -n とおいて微分にし，
さらに連続変数化．

【Ｆ】コーシーの留数積分定理
(10)　　f(z) = (1/2πi) ∫_C {f(ζ)/(ζ-z)} dζ
の両辺を z で n 回微分し，右辺の n! をΓ関数で書いて n を連続化．

まだ，他にいくらもあるでしょう．
拡張の時いろいろ注意がいるものもありますし，
いろいろな拡張方式が同じ結果を与えるがどうかも本当は検討が必要です．
(なかなか大変そうで，ちょっと私の手には余ります)．

質問の例は，
(11)　　d^n sin x／dx^n = sin(x+nπ/2)
のｎを連続化して 1/2 とおいて拡張した
(12)　　d^(1/2) sin x / dx^(1/2) = sin(x+π/4)
ですね．
これは多分ＯＫですが(実はちょっと微妙なところもあるみたいですが)，
cos の方はうまくいきません．
(13)　　d^n cos x／dx^n = cos(x+nπ/2)
からすると，
(14)　　d^(1/2) cos x / dx^(1/2) = cos(x+π/4)
ですが，本当は
(15)　　d^(1/2) cos x / dx^(1/2) = 1/√(πx) + cos(x+π/4)
です．
つまり，cos x をテーラー展開したときの第１項は定数１(イチ)ですが，
整数階微分ならこれが消えてしまうのに対し，
1/2 階微分なら(8)でこの項が残ります．
それがちょうど(15)右辺第１項です．

お礼

お礼が遅れましてすみません。

＞微分階数の非自然数化の萌芽はすでにライプニッツにあるようで，
＞オイラー，ラグランジュ，リウビル，リーマン，などの仕事があります．
そんなに前から！驚きです。

いろんなアイデアがあるものですね。
でもその分consistentな定義を与えるのは難しそうです。

挙げていただいた例での計算・検討をしたいと思います。
これらを参考に拡張方法を自分でも考えてみたいです。
たいへん参考になりました。ありがとうございました。