フーリエ変換についてのコト

質問

初歩的なことだとは思うんですが、、、

f(t)がフーリエ”級数”展開可能なときは、
A_0(定数) , A_n・sin(nωt + θ_n) (n=1,2,3……)
の重ね合わせでf(t)を表現できますよね。
つまり、基本角周波数ωの整数倍の角周波数を持つ
正弦波の重ね合わせでf(t)を表現できますよね。

では、「フーリエ”変換”可能な関数f(t)は、
A(ω)・sin(ωt + θ) ( ωは実数全体 、A(ω)とθはωに対して定まる実数　)
の重ね合わせで表現できる。」というのは正しいですか？
正しいような気がしているのですが、どうもハッキリと明言している
本が見つからなくて、確信が持てないでいます。

また、もし正しいとするなら、以下のことは正しいですか？
これも正しいような気がしているのですが、
明言している本が見つからないんです。
-----------
F(ω)をf(t)のフーリエ変換とします。、
「|F(ω)|は、f(t)を構成しているA(ω)・sin(ωt+θ)の
振幅A(ω)を表している。つまり、|F(ω)| = A(ω)」
ということでいいんでしょうか？
また、「arg{F(ω)} = θ」ということでいいんでしょうか？

回答No.4

nuubou · ベストアンサー

f(t) = 1 (|t|<1) , 0 (|t|>1) なんていう波形ができてくるのが納得いかなかったんです：
１＜Ｔとしf［Ｔ］(t) = Σ（ｎ＝－∞～∞）・ｆ（ｔ－ｎ・Ｔ）とすれば
ｆ［Ｔ］（ｔ）はフーリエ級数で表現できますね
Ｔ→∞とするとｆ［Ｔ］（ｔ）→ｆ（ｔ）となり「フーリエ級数」→「逆フーリエ変換」となるのです

位相が同じとは限らない、ということがミソなんでしょうか：
「位相が違う」というよりも「角周波数が実数軸上ちょう密」ということが味噌です

位相が同じとは限らない振幅無限小の波(余弦波) をたーくさん(無限に)重ね重ね合わせていくと、 元の波形を復元できる、というイメージは正しいですか：
フーリエ級数も一般には位相の違う無数の角周波数の余弦波を重ね合わせていますね
ただしその無数はと「びとびの無数」であり「ちょう密の無数」ではありません
例えば０・ω０，１・ω０，２・ω０，３・ω０，４・ω０，・・・というように
ただしω０は正の実数
フーリエ変換は一般には位相の違うちょう密無数の角周波数の余弦波を重ね合わせています
ωはとびとびではなく実数軸上べったり（ちょう密）です

お礼

お礼が遅れてしまってごめんなさいです。
PCが動かなくなってしまって…。

>位相が同じとは限らない、ということがミソなんでしょうか：
「位相が違う」というよりも「角周波数が実数軸上ちょう密」ということが味噌です

ちょっと勘違いしていました。

f(t) = a_0/2 + Σ{a_n・sin(nωx) + b_n・cos(nωx)}　(フーリエ級数)
という式を見て、「位相は全部同じ」と思い込んでいたみたいです。(ハズカシイ…)
上の式で、三角関数の合成をすれば、
f(t) = a_0/2 + ΣA_n・sin(nωt + θ_n)
というようなカッコウになって、
θ_nがあるから位相が違ってきますね、フーリエ級数でも。
>「角周波数が実数軸上ちょう密」ということが味噌です
これは一応は理解していましたが、
nuubouさんの回答で、自分が何が分かっていないのかが分かってきました。
この質問は古くなってしまったので、(ぼくのせいですが)
新たに質問を立ち上げようと思います。ありがとうございました。

回答No.3

nuubou

｛A(ω)・cos(ω・t + θ(ω))|ω∈R}の要素全てを重ねていったらf(t)の波形ができてくるということでいいんでしょうか？

ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））はそのことをまさに式で表しているとは思いませんか？

f(t) = ∫[-∞ to ∞] F(ω)・exp(iωt)dω/(2π) の右辺の虚部を0とおけば、提示の式を導けるんですね？

Ｆ（ω）＝∫ｄｔ・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｉ・ω・ｔ）とし
ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ｆ（ω）・ｅｘｐ（ｉ・ω・ｔ）／（２・π）とし
Ａ（ω）＝｜Ｆ（ω）｜／（２・π）とし
θ（ω）＝ａｒｇ（Ｆ（ω））とし
Ｒ（ω）＝∫ｄτ・ｆ（τ）・ｃｏｓ（ω・τ）とし
Ｉ（ω）＝∫ｄτ・ｆ（τ）・ｓｉｎ（ω・τ）とすれば
Ｆ（ω）＝Ｒ（ω）－ｉ・Ｉ（ω）であり、
｜Ｆ（ω）｜＝（Ｒ（ω）＾２＋Ｉ（ω）＾２）＾０．５である
よって
（２・π）・ｆ（ｔ）＝∫ｄω・（Ｒ（ω）－ｉ・Ｉ（ω））・（ｃｏｓ（ω・ｔ）＋ｉ・ｓｉｎ（ω・ｔ））
上式の実部をＸとし虚部をＹとすると
Ｘ＝∫ｄω・（Ｒ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ）＋Ｉ（ω）・ｓｉｎ（ω・ｔ））・・・（＊）
Ｙ＝∫ｄω・（Ｒ（ω）・ｓｉｎ（ω・ｔ）－Ｉ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ））
＝∫ｄτ・ｆ（τ）・∫ｄω・ｓｉｎ（ω・（ｔ－τ））＝０
というのは
ｌｉｍ（Ｗ→０）∫（｜ω｜≦Ｗ）ｄω・ｓｉｎ（ω・（ｔ－τ））＝０
というのは積分の中身は奇関数なので積分値が常に０になるから
（左辺が実数だから通常は虚部＝０は当たり前と見なしますが）
だから虚部は０にするではなく０になるのです
従って
ｆ（ｔ）＝Ｘ／（２・π）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））
（＊）式から上式への変形はできるでしょうね？

何でこの式かいてないんだろ？

ｅｘｐを用いた方式の方が便利だからです
実際に科学技術の分野ではｅｘｐの方ばかり使ってます
ややこしい三角関数の公式を使わないで済み簡単な指数の性質だけを使えばいいのだから
フーリエ級数にもｅｘｐを使う手法が有るでしょう
そっちの方が技術者科学者数学者には便利なのですよ

この式の意味のうまい説明の仕方はないでしょうか？

フーリエ級数は周期が有るでしょう
その周期を大きくしていくとフーリエ級数が逆フーリエ変換になるのですよ
だから実は同じものです
角周波数ω～（ω＋ｄω）に振幅Ａ（ω）・ｄω位相θ（ω）の余弦波が存在するではどうでしょうか？
Σ（｜ω｜＜∞）・Ａ（ω）・ｄω・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））と見なすことができるから

ところであなたは大学生ですか？
質問内容から説明のレベルを判断できない場合には学部学科学年が提示されていれば説明のレベルをあわせやすいので載せていた方がいいですよ

補足

>振幅Ａ（ω）・ｄω

つまり、位相が同じとは限らない振幅無限小の波(余弦波)
をたーくさん(無限に)重ね重ね合わせていくと、
元の波形を復元できる、というイメージは正しいですか？
どうも、周期的な余弦波が重なり重なっていって、例えば、
f(t) = 1 (|t|<1) , 0 (|t|>1)
なんていう波形ができてくるのが納得いかなかったんです。
フーリエ級数が周期波形を復元するというのなら納得いきますけど…
位相が同じとは限らない、ということがミソなんでしょうか。

上に書いた、
>つまり、位相が同じとは限らない振幅無限小の波(余弦波)
>をたーくさん(無限に)重ね重ね合わせていくと、
>元の波形を復元できる、というイメージは正しいですか？
の部分、とりあえず
自分では正しいと思いますけど、自分が正しいと思うからって、
ホントにそれがいつも正しいとは限りませんので、
そういうときにもぼくは質問します。
すいません。ぼかぁ、近所でも物分り悪くて有名ですので。
よろしくおねがいします。
もちろん、イヤだったら結構ですけど…

回答No.2

nuubou

ｆを実関数とし
Ｆ（ω）＝∫ｄｔ・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｉ・ω・ｔ）とし
Ａ（ω）＝｜Ｆ（ω）｜／（２・π）とし
θ（ω）＝ａｒｇ（Ｆ（ω））＋π／２としたとき
ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ｆ（ω）・ｅｘｐ（ｉ・ω・ｔ）／（２・π）であるならば
ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｓｉｎ（ω・ｔ＋θ（ω））である

回答No.1

nuubou

見直さない性格なんでよく間違えるんですよ

ｆのフーリエ級数が収束してもｆのフーリエ級数がｆに一致するとは限りません
ｆのフーリエ級数がｆに一致するための必要十分条件は簡単に表現できていません
ｆのフーリエ級数がｆに一致するための十分条件には簡単なものがあります
例えば「ｆが連続微分可能（Ｃ＾１級）であること」です
まーおおざっぱに言えばなめらかな関数ならば大丈夫です

またｆがフーリエ変換が可能であってもｆのフーリエ変換の逆フーリエ変換がｆになるとは限りません
超関数の範囲ではほとんどの場合ｆのフーリエ変換の逆フーリエ変換がｆになりますが

ｆのフーリエ変換の逆フーリエ変換がｆになるとき
Ｆ（ω）＝∫ｄｔ・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｉ・ω・ｔ）とし
Ａ（ω）＝｜Ｆ（ω）｜／（２・π）とし
θ（ω）＝ａｒｇ（Ｆ（ω））としたとき
ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））である

ｓｉｎでもできるけどやや複雑になるのでｃｏｓにしました

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193630

お礼

回答ありがとうございました。

>ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））である

f(t) = ∫[-∞ to ∞] F(ω)・exp(iωt)dω/(2π)
の右辺の虚部を0とおけば、提示の式を導けるんですね。
(何でこの式かいてないんだろ…ぼくの教科書…）
それで、この式の意味ですけど、
{A(ω)cos(ωt + θ(ω)) | ω∈R }の要素全てを
重ねていったらf(t)の波形ができてくる、
ということでいいんでしょうか？フーリエ級数のときみたいに。

補足

※お礼の欄の後に書きました。

お礼の欄に書いたことですけど、
(重ねていけばf(t)を復元できるんですか？というようなこと）
やっぱり違いますね…
フーリエ級数のときは和だけれど、
フーリエ変換のときは積分だから…

>ｆ（ｔ）＝∫ｄω・Ａ（ω）・ｃｏｓ（ω・ｔ＋θ（ω））

この式の意味のうまい説明の仕方はないでしょうか？
フーリエ級数の説明みたいに。