読了までの日数を求めたい

質問

お世話になります。

335ページの本があります。
毎日目に付いたページを適当に20ページピックアップして読んでいっているのですが（ページを適当に開いているので当然重複もあり）、
この方法だと全てのページを読み終わるまで(8割以上の確率で）大体何日かかるものなのでしょうか。
運が良ければ17日で済みますが…。

回答No.2

yuntanach · ベストアンサー

ページがずっと開かれない確率というのを考えてはどうでしょうか。

まず、あるページが、ある１日に開かれる確率は、20/355です。この確率を仮にpと表記します。
そのページは、最初の１日目では、(1-p)の確率で
開かれませんでした。二日目では(1-p)^2になります。
このように考えていくと、そのページがn日目になっても開かれない確率は(1-p)^nになります。

実際に数値を入れてみると、次のようになります。
1日目　　0.9437
2日目　　0.8905
10日目　 0.5600
20日目　 0.3136
50日目　 0.0551
100日目　0.0030
101日目　0.0029
102日目　0.0027

この「あるページ」というのは適当に選んだページな
わけですから、この確率でもってn日目になっても
開かれないページがある確率とみることができます。
上記の具体例だと、例えば100日目になっても0.0030の
確率でページが開かれていないということになります。

次に、いつになったら全部開いたことになると解釈できるかです。
適当に1ページだけ開いた確率が0.0028なので、
ページが開かれていない確率がこの確率を割った段階で
全部のページが開かれたとするのはどうでしょうか。
この場合だと、102日目で任意に20ページ開き続けて
まだ開かれていないページの確率が、１ページだけ
開いた確率を割り込むので、そこで全部のページが
開かれたと考えるわけです。

最後に、この分布がポアソン分布だと強引に考え、
102日目がλだとして標準偏差はだいたい10なので、
ちょっとアバウトですが、102+10=112日目ぐらいで
だいたい8～9割の確率で全部読んだということになる
のではないでしょうか。これは、355ページの本を
毎日ランダムに選んだ20ページづつ読んでいって
読みきったら1試行と勘定すると、毎試行ごとに
だいたい平均102日で完読し、何回も何回も試行
していいくとだいたい87%の試行が112日以内で完読すると
いう解釈になります。

お礼

返事が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。
非常に丁寧な説明で恐縮です。数学が苦手なので本当に助かりました。
ポイント発行させて頂きますね。

回答No.3

AssurBanipal

＞この方法だと全てのページを読み終わるまで(8割以上の＞確率で）大体何日かかるものなのでしょうか。

8割以上の確率で読み終わるためには、最低でも119日かかる。

k日目の読書後、全てのページを読了している確率をp(k)とすると、

p(k)=(Σ[r=0,335]{C(335,r)*(-1)^r*(C(335-r,20))^k})/((C(335,20))^k).

p(118)=0.790305….
p(119)=0.801515….

お礼

質問者です。
ご回答ありがとうございました。
8割以上の確率で読み終わるためには最低でも119日かかるのですね。了解しました。
ずっと気になっていたことなのですごくスッキリしました。

回答No.1

wps_2005

適当にピックアップする20ページは、「連続した20ページ」ですか?
それとも、「335あるページの中から20個を適当に選ぶ」ということですか?
さらに、後者だとすると、１日の20個の中では重複はないと考えてよいのですか?

それによって変わってくるような気がします。