友達に聞かれたのですが・・・

質問

友達に聞かれたのですが、わからなく質問する事にしました。どっかの大学の問題だそうです。
円柱のドラム缶(直径2r[m] 高さh[m])を用いて雨水を貯水する。上下の円盤状の蓋の表面積と側面の表面積の合計が2π(パイ)[平方m]の時に、貯水量が最大となるドラム缶の半径を求めなさい。
と言った問題です。全くわかりません。手の付け方だけでも構いませんので、お願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

体積をVとすると　V=πr^2h
側面積は 2πrh
蓋の　πr^2
したがって側面積と上下の蓋の面積の和は
2πrh+2πr^2
これが2πなのだから
2πrh+2πr^2=2π
整理すると　rh+r^2=1 すなわち h=(1/r)(1-r^2)
これを V の式に代入して
V=πr(1-r^2)

ここまでやればあとはすぐでしょう

回答No.3

turugi0802

円盤状の蓋の表面積をS1とすると
S1＝πr^2
ドラム缶の側面積をS2とすると
S2=2πrh

>上下の円盤状の蓋の表面積と側面の表面積の合計が2π(パイ)[平方m]の時
という条件があるので
2×S1＋S2=2π
2πr^2+2πrh=2π・・・(１)

また、ドラム缶の体積をVとすると
V=h×πr^2・・・(２)

(1)をh=の形に変形して(2)に代入してグラフの頂点を求める。

という流れでいけると思います。

お礼

ご解答ありがとうございました☆教えてくださったおかげで無事に解けました☆ありがとうございました☆

回答No.2

debut

上下の円の面積は　πｒ^2×２　で　２πｒ^2
側面は展開すると、縦ｈ[ｍ]、横２πｒ[ｍ]の長方形なので面積は２πｒｈ
これらの合計が２πなので、
　　　　２πｒ^2＋２πｒｈ＝２π　・・・（１）
貯水量はこのドラム缶にいっぱいになったとすると、体積は
　　　　πｒ^2×ｈ　・・・（２）
（１）式をｈについて解くと、ｈ＝(１－ｒ^2)/ｒ
これを（２）の式に入れて体積Ｖをｒの関数と見ると
　　　Ｖ(ｒ)＝πｒ(１－ｒ^2)
という３次関数になるので、微分して増減を調べ（ｒ＞０において）
最大値を求めればいいです。