微分するとはなんぞや？

質問

微分するってどういうことでしょうか？
その際に導関数や極限値などの単語を使うとき
その意味も教えてください。あと、教科書見てくださいという
解答はやめてください。教科書は定義っぽくて
よくわかりません。さらに限りなく近づけるって
どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
数では表せないのでしょうか？

回答No.5

chukanshi

>さらに限りなく近づけるって
>どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
>数では表せないのでしょうか？

この部分に限定して回答したいと思います。

結論からいうと、「数では表せません。」

例を示しましょう。
「0.99999.....=1」
という式はご存知ですね？
（簡単な証明：
1/3=0.3333.....だから両辺３倍して、
1=0.99999.....。
疑問があれば、下記No.3の記事に書かれているサイト参照下さい。）
で、ここで、
「9をいくつ並べたら、本当に1になるの？」
というのが、「さらに限りなく近づけるって、どこまで近づけるの？」
という質問の具体的な質問になります。
さあ、何個9を並べたら1になるのでしょうか？
具体的な数では、表せませんね。
これが、「さらに限りなく近づける」つまり
「無限に近づける」ということです。
すなわち、「無限」（限りなく）は「数」では表せません。
「無限（∞）」というのは「数」ではないのです。
では何なのか？私個人は、「状態」だと理解しています。もしくは「操作」です。

これで、「限りなく」はよろしいでしょうか？

では、ちょっと蛇足を書きます。
なぜ、こんなことが起るのでしょうか？
それは、「実数の集合が連続だから」です。ここで「連続」が、キーワード
です。「連続」とは、どういうことでしょうか？
実数の集合をあらわす時、何気なく「数直線」を書いていますよね？
実は、この「数直線」には、驚くべき性質があります。
たとえば、「１」でこの数直線を「切断」したとします。
「右半分の切り口には『１』という「数」が存在するように」切りました。
では、「左半分の切り口にはどういう「数」が存在するでしょうか？」
答えは、「0.9999.....というようなものがあり、「数」は存在しない。」
のです。
このように、「数直線を切断したとき、片方の切り口には「数」が存在し、
もう片方の切り口には「数」が存在しない。」というのが、「数直線が
連続である。」すなわち、「実数の集合が連続である。」ということになります。
これを「デデキントの切断」といいます。「連続」の定義の仕方の一例です。

それで「右に「ある数」があるとして切断したとき」と「左に「ある数」がある
として切断したとき」で、左右の「ある数」が一致したとき、
「極限値」が存在し、その「ある数」が「極限値」となります。

さて、実感がないと思うので例を出しましょう。
「午前０時を「今日」のはじめの「瞬間」だとすると、
「昨日」の最後の「瞬間」は、いつでしょうか？」
「午後１１時５９分５９秒９９９９......」
つまり、「昨日の最後の『瞬間』」は存在しないのです。
「瞬間」を「数」と置きかえれば、上の意味と同じになります。
これは「時間が連続だから」というか「時間が連続であることの定義」に
なっています。

こうして、「実数が連続」であるからこそ、「限りなく近づける」なんていう
ことが出てきます。

以下いいかげんな「イメージ」的説明です。
この数直線をぐにゃっとまげて一般の曲線にしましょう。それを数式で
表したのが、関数で、その関数上で今のように「限りなく近づける」ことを
考えてください。そうやって「傾き」を定義したのが微分です。
すなわち、「関数が連続でなければ、微分はできない。」のです。
これは、「関数が連続である」ことが「微分可能」の必要条件である、
ということです。

このように、「限りなく近づける」ことと「連続である」ということは、
密接な関係にあります。

以上、蛇足の方が長くなりました。
わかりにくい説明で余計混乱させたかもしれませんねえ。