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微分するとはなんぞや?

kony0の回答

  • kony0
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回答No.4

質問の趣旨とはずれているかもしれませんが、具体的な一例を。 高校の物理では微分を表に出さないようにしていると思いますが、いちばんわかりやすい具体例は、「変位を時間で微分すれば速度になる」ということかと思います。 小学生が文章題で扱う「ダイヤグラム」を考えるといいでしょう。 時刻tにおける変位をf(t)とする。(わかりにくければ、家を出てからtだけ時間がたったとき、家からy=f(t)の距離にある地点にいるとする。と考えて下さい。)(ちなみに、t-f(t)のグラフを描いたものがダイヤグラムそのもの) このとき、[a,b]間の平均速度は、{f(b)-f(a)}/(b-a)は当たり前ですよね?(逆走はとりあえず考えないで・・・)そしてこれは図上では「2点間を結ぶ直線の傾き」として表されることもわかるでしょう。) じゃぁ、時刻aにおける(瞬間の)速度は?と聞かれると、[a,a+瞬間]の平均速度を考えることになります。すなわちbをaに近づける。どれぐらい近づけるの?と言われても、「どこまでも限りなく近く」としか言えません。。。(後述参照) ところで、グラフ上で、bをaに近づけていくと、2点間を結ぶ直線はどうなるかと言えば、「接線」になることが見て取れると思います。(グラフを描いて、定規でもあてて目で感じ取って下さい) すなわち微分して出てくるのは、グラフ上のある点における接線の傾きであることがわかると思います。そしてこの接線の傾きが「時刻aでの(瞬間の)速度」というわけです。 ちなみに、導関数とは、微分をした式のことと思っておけば十分。 極限値とは、b→a(あるいは△x→0)としたときのlimをとったときの値のことです。だから、 ・もとの関数f(x)について、「微分」の定義式に従って△x→0の「極限値」ととったものが「導関数」である。 ということで言葉の整理を付ければいいのではないでしょうか? さらに、毎回微分の定義に従って極限値をとるのは面倒くさいので、(x^n)'=nx^(n-1)などという、導関数(あるいは微分)の公式を作ってある、ということです。(通常微分するときには、極限値がどうのこうの・・・とはあまり意識しないというわけです。しかしこの公式はもちろん定義に従い極限をとって導出される式ですが) さて、最後になぜ「限りなく近づける」の「どこまで?」が言えないかと言えば・・・簡単な背理法で示してみましょう。 いま、aに限りなく近づけて、これ以上aに近い数はない(けどaよりほんのちょっと大きい)「a+ε」という数があると仮定します。このときε>0です。(等号は入りません) そして「a+(1/2)ε」という数を考えてみると・・・aよりは大きく、a+εよりは小さい、すなわち限界と考えていたa+εよりも、a+(1/2)εのほうがもっとaに近いことがわかります。(矛盾) ということで、aに限りなく近づけるといっても、具体的に「どこまで」近づけるというのは明言できないのです。文字通り「限りなく」というわけです。 文章がぐちゃぐちゃで読む気しなさそうですが、納得いきますでしょうか?!(納得してもらえる自信がないので、「自信なし」としてます^^;)

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