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三角形の個数
stomachmanの回答
- stomachman
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既にある多角形の外部にひとつも新しい三角形を作らないように直線cを加えることができたとします。 この直線cは、既にある多角形の内部を通過しているが、そのうち三角形ではない少なくとも一つの多角形から三角形を切り取ってしまう。 これが証明したい定理の残りの部分ですね。 部分的に検討してみました。 まず、既にある多角形というのは全て凸多角形、つまり内角が180度以下である。これは自明です。だから直線cは高々２点でしか多角形の辺と交わらない。 ＊cが通過している多角形が全部三角形である、という場合。まずこれらの三角形を構成していない直線を全部取り除いて考える。そのどれかの三角形の辺のうち、cが通過していないやつを構成している直線（少なくとも２本ある）とcとの交点が外部に三角形を作ってしまう。これを妨害するような直線（ただし問題にしているどの三角形の内部も通過してはいけない）を加えても、やっぱりその加えた直線が外部にcを一辺とする三角形を作るか、或いはcが通過しているような多角形を作ってしまって、「cが通過している多角形が全部三角形」という条件を満たさなくなる。ということが言えそうに思います。 ＊cが通過している多角形のうち三角形でないものがあるとします。 cが通過している多角形のうち、三角形は無視して、四角形以上の多角形だけを取り出してみます。この多角形を構成する辺のうち、隣り合っていない２つの辺d,eをcが通過するのなら、三角形は作らない。そうすると、cが通過していない残りの辺が少なくとも２つあります。そして、(d,e),(a,b), (a,c),(b,c)という５つの交点は全てこの多角形の外部にある。直線a上で、交点(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)、という順番に並んでいるとすると、直線b上では交点(a,b),(b,d),(b,e),(b,c)という順番でなくてはならない。四角形の場合ならこれで直線に名前が一意的についたと思います。 さてもし直線d上で、(d,e)(d,b)(d,c)(d,a)という順番に交点が並んでいるとすると、直線e上では(e,d)(e,b)(e,c)(e,a)の順になっている。従って、(c,e)(c,b)(b,e)という三角形が出来ている。 これが既存の三角形の一部を切り取った物であるためには、(b,e)(a,e)を２頂点とする三角形が必要ですが、(b,a)はこっち側では交差してくれない。だからこれはない。 また、既存の多角形の外部に三角形ができちゃうのは、最初から禁止でした。 ゆえに、注目している多角形の内部を通過しない直線fがもう一本必要です。（多角形の内部を分割する線があってはいけないのは自明） もし、fが(b,f)(b,e)(a,e)(a,f)を頂点とする多角形を作っていて、cがこの多角形の隣合わない辺を通過しているんだとすると、直線dを取り除いてもこの議論に帰着する。(dの代わりにa,b,e,fを辺とする多角形を考えれば、(f,c)(f,b)(b,c)の三角形が問題になる。） するってえと、fの引きようがない。 なんかそんな感じで、うまくまとめられないかと思っていますが、難しいなあ。
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