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三角形の個数
stomachmanの回答
- stomachman
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ご質問の意味は、直線で切り分けた最小の断片が三角形である、そういう三角形の個数のことを仰っているんだとおもいます。そうするとNo.1の回答とは話が違ってきます。 証明できないけど、 n＜3のとき0 n≧3のときn-2 ではないかな？ 三角形の個数がn-2となる作図法（システマティックに、どんなnについてもn-2個になるような作図法）を構成的に示すのは容易だと思います。さればn-2未満にできないことを示すのがポイント。 [A](n-1)本の直線が描いてあるところに、n本目の直線を加える。ただし、既に存在している多角形の領域を通過しないようにn本目を加える場合を考えます。 (n-1)本の直線それぞれの上に、(n-2)個の交点が存在しています。そのうち、最も「外側」にある交点２個に注目します。直線aに関して最も「外側」にある交点のひとつ(a,b)は、別の直線bとの交点です。そして、(a,b)が直線bに関しても最も「外側」にある交点であるとする。 そうすると、n本目の直線cを、直線aと、(a,b)が直線aに関して最も「外側」にある交点でなくなるようにひいたときにできる交点(a,c)と、直線bとの交点(b,c)との間に、他の直線との交点はない。(もしあれば、(a,b)は直線a,直線bに関する最も「外側」にある交点ではない。）従ってここに１つ三角形(a,b)(a,c)(b,c)が出来ます。 言い換えれば、(n-1)本のどの直線についても「最も「外側」にある交点が、他の直線の最も「外側」にある交点ではない」、という配置が存在しない（これが示せたらいいんですが…）限り、n本目の直線を描くと新しく三角形ができる。 [B] さてn≧3について、n本の直線が描いてある場合、その中の１本cを選んで、他の(n-1)本の直線が構成するどの多角形をもcが通過しない、そういうふうにcを選ぶことが常に可能である（と言えそうな気がします…。） すると、[A]の議論によって、cを取り除くことで三角形の個数が少なくとも１個減ります。 この手順を繰り返すと、残りの直線が２本になったとき、三角形は必ず丁度0個でなくてはならない。従って、元の、n本の直線が描いてある状態では三角形が少なくとも(n-2)個あった、ということが分かります。 [A][B]に残っている「…」の部分は、「(n-1)本のどの直線についても、最も「外側」にある交点が、他の直線の最も「外側」にある交点ではない、という配置が存在しない」という補助定理が証明できたら仕上がるように思うんですが、如何でしょう？
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