トーラス上のエータ不変量

質問

先ほどの質問で誤りがありましたので訂正させて頂きます。トーラスS1上で
　D = -i d/dt + a 　( 0 < a ≦ 2π)
の固有関数 exp(2πint) と固有値2πn+a に対して

　 η(s) = Σsgn(2πn+a)/|2πn+a|^s　 (1)

という無限和を考えます(n∈Z)。このとき
　 η(0)/2 = a/2π
はエータ不変量と呼ばれ、Dのスペクトル不変量になるとされます。しかし(1)で s=0 とおけば
　 η(0) = 1 - 1 + 1 - 1 + …
という収束しない級数になるのではないでしょうか。チェザロ総和をとっても1/2になり、a/πにはなりません。どうしてこれが a/πになるのでしょうか。また中原幹夫「理論物理学のための幾何学とトポロジーII」p.138ではディラック作用素のエータ不変量が
　 　 η(s) = Σsgn(λk)/|λk|^2s　 (2)
で定義されていますが、なぜ(1)と(2)は違うのでしょうか。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

少し補足お願いしたいのですが例えばa=2πでn=-1のときηはどのように定義されているのでしょうか。おそらくリーマンゼータと同じように解析接続した上で０での値を求めていると思われますがこのままでは上のa=2πに対してはすべてのｓに対して発散してしまうように思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。「解析接続した上で０での値を求めている」のはその通りと思います。P. Gilkey ; Invariance Theory, The Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem, p.80 によれば
　η(s) = Σsgn(λn)/|λn|^s 　( λn≠0 )
で定義されているので0になる固有値は除くのだと思います。質問に不備があり申し訳ございませんでした。