数列の質問です。

質問

数列の質問です。

Ａn＝－２ｎ＋５８とする。いま数列｛Ａｎ｝を
（Ａ1)、（Ａ２、Ａ３、Ａ４）、（Ａ５，Ａ６，Ａ７，Ａ８，Ａ９）、…
のように群に分けるとき、第ｍ群に属する２ｍ－１項の総和が負となるのは
ｍ≧□の時である。

という問題なのですが、このとき方が解りません。
僕はｍ群の総和をｍで表し、グラフを書いたりしてみたのですが
できませんでした。ちなみに答えは６になるそうです。
よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

計算間違いの常習犯stomachman、後半ちょっと間違えましたぞ。

「これを使って、」から以下を訂正です。

S[m] = ΣA[k] (Σはk=(m-1)^2+1～m^2の総和）
= T[m^2]-T[(m-1)^2]
= T[m^2]-T[m^2-2m+1]
=(57-(m^2))(m^2)-(57-(m^2-2m+1))(m^2-2m+1)
=-4(m^3)+6(m^2)+110m-56
となります。
S[m]のmを実数だと思えば、S[m]=0は３次方程式
-4(m^3)+6(m^2)+110m-56=0
であり、３つの実解
m1=1/2, m2=(1+√113)/2), m3=(1-√113)/2
を持っています。√113≒10.6 ですから、
m1=1/2, m2 ≒ 5.8, m3 ≒ -4.8
です。
m≧1であって、しかもS[m]≧0となるのは1≦m≦m2のときであるのは明らか。
従って、mが自然数の場合に限れば、S[m]＜0となる最小のmは、m2＜mとなる最小のmに等しい。

以上から、6が答。

お礼

丁寧に回答していただきありがとうございました。

回答No.1

stomachman

素直にやれば良い問題です。

題意より
A[n]=58-2n
この番号nの事をindexと呼ぶことにします。

第m群を集合Q[m]で表します。
Q[m]の要素の数を|Q[m]|と書くと、題意より |Q[m]|=2m-1 です。

Q[m]の要素のうち最大のindexを持つ要素のindexをM[m]と書くことにします。ただしM[0]=0と決めておく。

第m群の総和をS[m]と書くことにすると
S[m] = ΣA[k] (Σはk=M[m-1]+1～M[m]の総和）
です。

まずM[m]を求めましょう。題意から
M[1]=1
M[k]=M[k-1]+|Q[k]|
という漸化式が得られます。
従って、
M[0]=0を考慮すると
M[k]=M[k-1]+2k-1
はk≧1について成り立ちます。ゆえに
M[m] = Σ(2k-1)（Σはk=１～m)
= Σ(2k-1)
= 2Σk-Σ1
= m(m+1)-m
= m^2
です。(m^2はmの二乗）

さて、ここで
T[r] = ΣA[k] (Σはk=1～rの総和）
というのを導入しておくと計算が楽になります。
T[r] = Σ(58-2k)
= Σ58-2Σk
=58r-r(r+1)
=(57-r)r

これを使って、
S[m] = ΣA[k] (Σはk=(m-1)^2～m^2の総和）
= T[m^2]-T[(m-1)^2-1]
= T[m^2]-T[m^2-2m]
=(57-(m^2))(m^2)-(57-(m^2-2m))(m^2-2m)
=2(-2m^2+2m+57)m
となります。
S[m]のmを実数だと思えば、S[m]=0は３次方程式
(-2m^2+2m+57)m=0
であり、３つの解
m1=0, m2 = (1+√115)/2, m3 = (1-√115)/2
を持っています。√115≒10.7 ですから、
m1=0, m2 ≒ 5.9, m3 ≒ -4.8
です。
m≧1であって、しかもS[m]≧0となるのは1≦m≦m2のときであるのは明らか。
従って、mが自然数の場合に限れば、S[m]＜0となる最小のmは、m2＜mとなる最小のmに等しい。

以上から、6が答。