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巾零行列についての問題

oodaikoの回答

  • oodaiko
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回答No.3

akio_02 さんこんにちは。レポートということなのでヒントだけ （１）Ａは巾零 ⇒ Ａの固有値はすべて0 対偶を示します。Ａが0でない固有値λを持つとします。その固有値λに対する固有ベクトルをxとすると、すべてのｍ≧1に対してＡ^m x ＝λ^m x となります。xは0ベクトルではなく、λ^mも0ではないので右辺は0ベクトルではありません。よってＡ^m は零行列ではありません。すなわち… （２）Ａの固有値はすべて0 ⇒ Ａは巾零 ケーリー・ハミルトンの定理を使います。Ａはｎ次行列で固有値がすべて0なので、Ａの固有多項式は λ^n＝0 となります。そこでλの代わりにＡを固有多項式に代入すると…… （３）Ａの固有値はすべて0 ⇒ Ａ^n＝０ （２）と全く同様。 （４）Ａ^n＝０ ⇒ Ａの固有値はすべて0 これも対偶を示します。示し方は（１）と全く同様。

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任意の正方行列は三角行列に相似であるというのを使えば直ちに求まるのでは…
レポートは大変です。私は部分分数分解の定理の証明とガンマ関数とベータ関…
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