正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する？

質問

Ａを正規行列とすると適当な対角行列Λと適当なユニタリ行列Ｕが存在してＵ＾＊・Ａ・Ｕ＝Λである
λとμを異なる固有値として
Ｕの列ベクトルでありλの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をＰとし
Ｕの列ベクトルでありμの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をＱとしたとき
ＰとＱは直交しλの固有ベクトルはＰの元でありμの固有ベクトルはＱの元であるから「λの固有ベクトルとμの固有ベクトルは直交する」

上の証明について質問します
（１）結論は正しいですか？
正しければ
（２）証明に穴はありますか？
あれば
（３）どのように証明したらいいでしょうか？

回答No.4

motsuan · ベストアンサー

線型代数の教科書をみると
動機としては、内積が定義されているときに
ユニタリー行列で対角化できる行列ってなんだ？
というのが普通のようです。そこで、正規行列としてA^*A=AA^*
を出してくる場合もあるし、U^*AUが対角化されていると
(U^*AU)^*U^*AU＝U^*AU(U^*AU)^*
であることから、A^*A=AA^*を導き出している場合もあるようです。
いずれにせよその後、A^*A=AA^*であれば対角化できることを示すのが
普通のパターンのようです。
正規行列の固有値が直交するのは
A|λ>=λ|λ>のときA^*|λ>=λ~|λ> (~は複素共役)
であることを使って
<β|A|α>=α<β|α>=β<β|α>　（<β|A=((A^*)|β>)^*=(β^*|β>)^*)
により示すようです。
ここで、A^*|λ>=λ~|λ>は
<λ|(A-λI)^*(A-λI)|λ>=<λ|(A^*-λ~I)^*(A^*-λ~I)|λ>=|(A^*-λ~I)|λ>|^2
であるためです．

あと、私の「「直交する空間」も結局不動点ができるから．．．」
というのも変ですね。

結局、A^*A=AA^*が必要でそのあと十分であることが示されるようです。
このあたりの流れを私が理解していないため混乱してしまいました。

正規行列というのをはじめて知ったので
（物理系であるためエルミートばっかりしか考えたことがなかったので）
とても勉強になりました。

とくにA^*とAの固有値が共役の関係にあるというのが
A^*とAが可換であることから導かれるというのがとても面白と感じました。

以上、お騒がせしました。

お礼

私の方も正規行列はユニタリ行列によって対角化されるというのを使って
結論を導いたのはルール違反ですね
高級な定理で簡単に証明できるものを証明しているのですから
そのような定理を使わなくても簡単に証明できるのにね
ただ結論を知るのが目的だったのですが昔の本を読み返してみると
定理として載っていました
その証明は上と同じものでした
出す前にもう少し調べてみないといけませんね
解決！
長い間どうもありがとうございました

回答No.3

motsuan

Ｕ・Λは思いっきり間違ってしまいました。
結果としては
(0,0,...,0,1,0,...,0)がｊ番目の要素が１でそれ以外が0、Λのjj要素をΛjj、
とすると
Ｕ・Λ(0,0,...,0,1,0,...,0)＝ΛjjＵ(0,0,...,0,1,0,...,0)
なので最終的にはあっていたということで許してください。
証明に難があるというわけではありません。
A^*A=AA^*という関係については、nuubouさんの定義から
導出すべきもののようで、これを私は逆におもっていただけのようです。
（つまり、正規行列というのは
　異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交するような行列
　という定義なのではないでしょうか？
　異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する
　ということは別な言い方で言えば、
　行列Ａの一つの固有ベクトル|α> に直交する空間｛<β|；<β|α> = 0｝が
　その写像Ａに対して不変な部分空間でなければならない、
　となると思います。「直交する空間」の残りの空間は１次元なので
　再びＡ^*の固有ベクトルとなり同時固有ベクトルであることが必要とされると思います。
　そして、「直交する空間」も結局不動点ができるから
　その中から固有ベクトル得られて．．．
　と繰り返して最終的直交する固有ベクトルの系列ができる仕組みをあたえている
　というような感じなのではないでしょうか？）
ということで、ごちゃごちゃややこしくしてしまい申し訳ありません。
（というかあくまでもアドバイスということでご容赦下さい。）

あと、縮退ですが、物理用語なのかも知れません。同じ固有値が
１つ以上の固有ベクトルをもつということです。

補足

とういことは
正規行列の定義を「Ａ＾＊・Ａ＝Ａ・Ａ＾＊であるような行列Ａ」で始めたか
「異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する行列」で始めたかの違いで
両者は同値であるということですか？

結論が正しいとすると
正規行列Ａを対角化するユニタリ行列を求める手順は
（１）Ａの固有値をすべて求める
（２）求めたすべての固有値について各固有値ごとに固有空間を求める
（３）求めたすべての固有空間について各固有空間ごとに正規直交基底を求める
（４）求めた正規直交基底をすべて並べてユニタリ行列とする
でよろしいのでしょうか？

回答No.2

motsuan

結論だけだとＵ＾＊・Ａ・Ｕ＝Λとなっている行列に対して
(0,0,...,0,1,0,...,0)
というベクトルが固有ベクトルでかつ互いに直行していますよね。
ＡＵ(0,0,...,0,1,0,...,0)＝ΛＵ(0,0,...,0,1,0,...,0)
なのでＵ(0,0,...,0,1,0,...,0)が固有ベクトルです。
そして、ユニタリ変換なので互いに直行しています。
ということになります。というのでよろしいでしょうか？
Ａの固有値とＡ＾＊の固有値の関係が
よくわからないのでぐだぐだ書いてしまいました。

補足

とういうことは証明に難点があるのですね

ところで
Ａ・Ｕ＝Λ・Ｕと書いてありますがＡ・Ｕ＝Ｕ・Λの書き間違いですよね
縮退の意味を教えていただきたいのですが
よろしくお願いします

回答No.1

motsuan

（用語がよくわからないので適当につかってます。）
A^*A=AA^*ですから、縮退していなければ
A^*とAとの間に同時固有ベクトルがあって、
縮退していなければそれらは直交します。
質問の縮退してる場合はそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルの空間の
一つの元がもう一方のベクトルの線型結合で表されて
例えばAの固有値αに対応するベクトル{|αi>;i=1,2,...}
に対して、
A^*|αi> = Σk_{ij}|αj>
（k_{ij}は係数）と表せることから適当に直交化して
A^*|αi'> = α~|αi'>
(α~はAの固有値αに対応する同時固有ベクトルについてのA^*の固有値）
となるように選べば
<αi'|A|βj> = β<αi'|βj> = α~^*<αi'|βj>
(β-α~^*)<αi'|βj> = 0
で(β-α~^*)が０でなければ<αi'|βj> = 0 となって
直交する成分があるのが分かります。
A^*で{|αi>;i=1,2,...}をA^*の
固有値α~に対応する固有の基底{|αi'>}に全部
振り分けれるかは分かりません
（双対の関係なのでそうなるような気がしますが。
　その意味でA^*Aの固有空間とA,A^*それぞれの同時固有ベクトルを
　考えるほうがいいのかもしれません。
　ラプラシアンとナブラ演算子の関係？）
半端で申し訳ありません。続きは別途考えます．．．

補足

縮退の意味を教えていただきたいのですが
重根と言う意味ではないのでしょう
Ａの次数は有限ですがＡの固有ベクトルは次数分ありますよね？
一番知りたいのは（１）の結論が正しいかどうかです
証明はできたらでいいのでそれだけども教えていただいたらと思います
よろしく