球形の導体を地中に深く埋めた場合

質問

こんにちは！大学一年のものです。
いつもお世話になっています。
電磁気の問題なんですが、
半径aの球形の導体を地中に深く埋めた場合の接地抵抗を求める（大地の導電率σとする）
のですが、この場合、解答は電位ｖと電流（i=σEよりiを求めＩ＝∫ids）を求めてオームの法則を使って出すと思うんですが、
このとき電流Iって、どこをどのように流れているんですか？？
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

もう一方の電極は、無限遠点にあるとして考えればよいのです。

図1のような金属の箱を持ってきて、中を土(別に土でなくてよいですが)で満たします。土はもちろん均質であるとします。

┌───　───┐
│　　　　　　　│
│　　　　　　　│
│　　　　　　　│
└───────┘
図1　金属の箱

続いて、中に金属球(半径r)を埋めます(図2)。金属球は箱に対して十分小さいとします。「箱は金属球に対し十分大きい」と表現した方が分かりやすいかも知れません。
さらに金属箱と球から電極(それぞれA, Bとします)を取り出します。このA-B間の抵抗を「金属球の接地抵抗」と呼んでいます。

　　A　 B
　　┃　┃
┌─┸─┃───┐
│　　　┃　　　│
│　　　●　　　│
│　　金属球　　│
└───────┘
図2　金属球の埋設と電極の取り出し

金属箱は十分遠方にありかつ等方的と見なせるので、金属球を出発した電流も等方的に拡散していきます。

ここまで読めばひらめくと思いますが、もし分からなかったなら以下の「続き」を参考にしてください。

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いま、金属球と中心を共有し半径がxであるような球面Pを考えます。またそれより半径が少しだけ大きい(x+Δx)球面Qも考えます(図3)。電流は等方的に拡散するので、これらの球面を常に垂直に貫きます。

　　／￣＼Ｑ
　／／￣＼＼
｜｜Ｐ●　｜｜
　＼＼＿／／
　　＼＿／

図3　中心を共有する曲面

球面P上での電流密度をi(x)としましょう。上に述べたように電流分布は等方的(球対称)でかつ球面を垂直に貫きますから、これに球面Pの表面積をかければ全電流になります。
一方土は均質ですから等電位面は球面群で構成されます。すなわち球面Pの表面はすべて同電位です。球面Qについても同じです。球面Pの電位をE(x)としましょう。

球面QとPで挟まれた薄い空間内の伝導について考えてみましょう。次の式が立てられます。
i(x) = σ{E(x+Δx)-E(x)}/Δx　　　(1)
二つの球面の電位差E(x+Δx)-E(x)を距離Δxで割ったものが電界(の強さ)です。これにσをかければ電流密度です。
一方、i(x)に球面Pの表面積をかければ全電流Iになります。
I = i(x)・4πx^2　　　(2)
これを(1)に代入します。
I = 4πx^2・σ{E(x+Δx)-E(x)}/Δx　　　(3)
Δx→0とすれば微分方程式になり
I = 4πx^2・σ(dE/dx)　　　(4)
これはすぐ解けて
E(x) = - (I/x)/(4πσ) + E0　　　(5)
を得ます。E0は積分定数です。

金属球表面の電位は(5)から
E(r) = - (I/r)/(4πσ) + E0　　　(6)
であり、無限遠点の電位は
E(∞) = - 0 + E0　　　(7)
です。差引きすればA-B端子間の電圧になります。すなわちI/(4πσr)です。
電圧をI/(4πσr)かかった状態で電流がI流れているのですから、A-B間の抵抗、すなわち接地抵抗は1/(4πσr)と求められるわけです。

お礼

テストがあったためご返事遅くなってホント申し訳ございません！
とても分かりやすい回答ありがとうございました。
とても参考になりました。