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円筒関数について、、、
siegmundの回答
- siegmund
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どうやら,円筒関数というより,円筒座標あるいは2次元極座標を用いて, ということらしいですね. 円筒座標を使う方法はもう一つの ka-kunn さんの質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190962 に答えた話の http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532 がまさにそれになっていますね. せっかくですから,別法を書いておきます. なんだか,回答が入れ違ったみたいになっちゃいましたがね. a は変数変換で消せるから (1) I = ∫{0~∞} exp(-x^2) dx が計算できればよい. あとの正負分類の煩わしさを避けるため,積分区間を 0~∞ と半分にしている. (2) x = yz, dx = z dy とおいて (3) I = ∫{0~∞} z exp(-y^2 z^2) dy また, (4) I = ∫{0~∞} exp(-z^2) dz と書けるから,(3)(4)より (5) I^2 = ∫{0~∞} exp(-z^2) dz ∫{0~∞} z exp(-y^2 z^2) dy = ∫{0~∞} dy ∫{0~∞} z exp[-(1+y^2)z^2] dz となり,(5)の z 積分は (6) ∫ z exp[-(1+y^2)z^2 dz = - exp[-(1+y^2)]/2(1+y^2) と不定積分ができるので, (7) ∫{0~∞} z exp[-(1+y^2)z^2 dz = 1/2(1+y^2) になる.したがって (8) I^2 = (1/2) ∫{0~∞} dy/(1+y^2) だが,この不定積分は (9) ∫ dy/(1+y^2) = arctan y なので,(8)は (10) I^2 = (1/2) ∫{0~∞} dy/(1+y^2) = π/4 と計算できる.よって (11) I = √π/2 あるいは (12) ∫{-∞~∞} exp(-x^2) dx = √π この定積分(ガウス積分)はあちらこちらで出てくる有名な積分です. 結果が√πであることはぜひ記憶しておいてください.
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