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円筒関数について、、、
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円筒関数を用いてではありませんが、あなたのヒントに従っての求め方です。 I＝∫{-∞～＋∞}exp(-ax^2)dx I＝∫{-∞～＋∞}exp(-ay^2)dy ゆえに、 I^2＝∫∫{-∞～＋∞}exp(-a(x^2+y^2))dxdy x＝rcosθ、y＝rsinθと置くとdxdy＝rdθdrで、 積分範囲は、θについて0から2π、rについて0から∞ですから I^2＝∫∫exp(-ar^2)rdθdr ＝∫{0～＋∞}exp(-ar^2)rdr∫{0～2π}dθ ＝（1/2a)(2π) ＝π/a I＝√（π/a） 円筒関数というとBessel関数ですよね、反って難しいのではないでしょうか？
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- kony0
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積分の解法はもうじゅうぶんと思われるので、siegmundさんのおっしゃる、この積分のお話をほんの少し。（大学教養程度の確率のお話です） (1)ガンマ関数について、Γ(1/2)=√πです。 ∫{0～＋∞}exp(-x^2)dx で x^2=y とおくと、 √π/2 = ∫{0～＋∞}exp(-x^2)dx = ∫{0～＋∞}exp(-y)*(1/2)y^(-1/2)dy = (1/2) Γ(1/2) (2)正規分布の確率密度関数f(x)=c*exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}の係数cが1/sqrt(2πσ^2)であることは、この積分を用いて直ちに示せますね。 これより高等なことは私にはわかんないですが。。。（汗）
お礼
お返答とてもうれしかったです。 ありがとうございました。 これからも分からない事が多いと思いますので、 よろしくお願いします。 ありがとうございました。
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
どうやら，円筒関数というより，円筒座標あるいは２次元極座標を用いて， ということらしいですね． 円筒座標を使う方法はもう一つの ka-kunn さんの質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190962 に答えた話の http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532 がまさにそれになっていますね． せっかくですから，別法を書いておきます． なんだか，回答が入れ違ったみたいになっちゃいましたがね． a は変数変換で消せるから (1) I = ∫{0～∞} exp(-x＾2) dx が計算できればよい． あとの正負分類の煩わしさを避けるため，積分区間を 0～∞ と半分にしている． (2) x = yz, dx = z dy とおいて (3) I = ∫{0～∞} z exp(-y^2 z＾2) dy また， (4) I = ∫{0～∞} exp(-z＾2) dz と書けるから，(3)(4)より (5) I^2 = ∫{0～∞} exp(-z＾2) dz ∫{0～∞} z exp(-y^2 z＾2) dy = ∫{0～∞} dy ∫{0～∞} z exp[-(1+y^2)z^2] dz となり，(5)の z 積分は (6) ∫ z exp[-(1+y^2)z^2 dz = - exp[-(1+y^2)]/2(1+y^2) と不定積分ができるので， (7) ∫{0～∞} z exp[-(1+y^2)z^2 dz = 1/2(1+y^2) になる．したがって (8) I^2 = (1/2) ∫{0～∞} dy/(1+y^2) だが，この不定積分は (9) ∫ dy/(1+y^2) = arctan y なので，(8)は (10) I^2 = (1/2) ∫{0～∞} dy/(1+y^2) = π/4 と計算できる．よって (11) I = √π/2 あるいは (12) ∫{-∞～∞} exp(-x＾2) dx = √π この定積分(ガウス積分)はあちらこちらで出てくる有名な積分です． 結果が√πであることはぜひ記憶しておいてください．
お礼
またもやすばやい回答に心から感謝申し上げます。 本当に助かりました。ありがとうございます。 またなにかあれば、助けていただきたいと思います。 ありがとうございました。
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