複素数の質問です。

質問

以下の問題が解りません。

Ｏ（０，０）、Ａ（１，０）、Ｂ（０，１）において、線分ＯＡ、ＯＢ上に
それぞれ動点Ｐ，Ｑを取り、△ＰＱＲが一辺１の正三角形になるように動点
Ｒを第一象限にとる。角ＯＰＱをθとする。

（１）ＰがＯからＡまで動くとき、Ｒの座標をθを用いて表せ。

　　　　　答え（1/2cosθ＋√3/2sinθ、√3/2cosθ＋1/2sinθ）

（２）Ｒの描く曲線をＣとする。Ｃが楕円の一部であることを示せ。

この問題の（２）が解りません。どなたか教えてください。ちなみに
ヒントのところに「Ｃが楕円なら、それは当然ｙ＝ｘについて対称に
なる。だから、±π/4回転すれば標準形になる」と書いてありました。
よろしくお願いします。

回答No.4

taku12 · ベストアンサー

間違いを発見したので補足を・・・。
45度回転する際の計算で括弧が抜けてました。
正しくは、
{sin(π/4) + i cos(π/4)} * [ { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i ]
= {√2 / 2 + (√2 / 2) i } * [ { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i ]
= ・・・計算してください・・・
= 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ) + 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ) i
です。

お礼

丁寧に回答していただきありがとうございました。
これでようやく解けました。また何かあったらよろしくお願いします。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU

おおっやっと一通り出してくれる人が出たか。検算するから明日の夜まで閉じないでね。

ところで、もしヒントなしで解答しろと言われたらどうする？

＜解＞
Ｒｘ＝1/2cosθ＋√3/2sinθ＝ｆ(θ)、Ｒｙ＝√3/2cosθ＋1/2sinθ＝ｇ(θ)
より、ｆ(π/2－θ)＝ｇ(θ)…（１）が成立する。
題意より、０≦θ≦π／２ の範囲でθが動くので、
グラフはｙ＝ｘについて対称である。 （割りと簡単だった。）

さて、やるか。
点（ｘ，ｙ）を原点を中心にしてπ／４平行移動させた点を（Ｘ，Ｙ）とする。
Ｘ＋Ｙｉ＝{cos(π/4) ＋ isin(π/4)}(ｘ＋ｙｉ)
＝（１＋ｉ）(ｘ＋ｙｉ)／√２
＝（ｘ－ｙ）／√２＋（ｘ＋ｙ）ｉ／√２

よって、複素数の相等条件（２つの複素数が相等しい条件）より、
Ｘ＝（ｘ－ｙ）／√２ ， Ｙ＝（ｘ＋ｙ）／√２ である。

ああっもう駄目。お肌が荒れはじめてる。明日続きをやる。でもなんかもう合ってそうだけどね。

お礼

ｙ＝ｘで対称になるのは感覚では解っていたのですが
実際式で表せなかったのでとても助かりました。ありがとうございました。

回答No.3

taku12

まだ間に合うのでしょうか？間に合ってるといいのですが・・。

さて、(1)の答えは分かっているようなので省きます。答えが複素数で、
{ 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
と出てきますよね。

次に、(2)ですが、だいたいの図を書いてみると、確かにヒントにあるようにＣが楕円になるのならそれは y=x に関して対称になることが予測できます。したがって、上で求めたＲの座標からそのままＲの軌跡を求めると、おそらく学習していない斜めになった楕円を表す式が出てきてしまうでしょう。そこで、ヒントの通り、π/4 (45度）回転させましょう。イメージとしては、問題の点Ａ、Ｂをそれぞれ Ａ(1/√2, 1/√2)、Ｂ（-1/√2, 1/√2) として同じ問題を考えるような感じです。この図を一度書いてみると、雰囲気がつかみやすいかもしれません。これでどうやら標準形の楕円の式、つまり x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 という式が導けそうです。（もっともここでは楕円の中心が原点である保証はないですが、それはおいおい計算していくと分かってくるはずです）
では、実際に計算してみましょう。

まず、45度の回転です。(1)で求めたＲを原点を中心に45度回転させましょう。Ｒを45度回転させた展をＲ'とすると、Ｒ'を表わす複素数は、

{sin(π/4) + i cos(π/4)} * { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
= {√2 / 2 + (√2 / 2) i } * { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
= ・・・計算してください・・・
= 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ) + 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ) i
となるはずです。
したがって、この点Ｒ'をＲ'(x, y)とおくと、
x = 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ)
y = 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ)
となります。ここから、媒介変数であるθを消しにかかります。

x^2 = {1/4 (√6 - √2)}^2 (sinθ - cosθ)^2　より
[ x^2 / {1/4 (√6 - √2)}^2 ] * 1/2 = x^2 / {1/8 (√6 - √2)^2} = (sinθ - cosθ)^2 / 2　となり、
y^2 = {1/4 (√6 + √2)}^2 (sinθ + cosθ)^2　より
[ y^2 / {1/4 (√6 + √2)}^2 ] * 1/2 = y^2 / {1/8 (√6 + √2)^2} = (sinθ + cosθ)^2 / 2　となります。
したがって、
x^2 / {1/8 (√6 - √2)^2} + y^2 / {1/8 (√6 + √2)^2}
= (sinθ - cosθ)^2 / 2 + (sinθ + cosθ)^2 / 2
= ・・・計算してください・・・
= 1
となるので、めでたくＲ'の軌跡は楕円（の一部）を表すことが分かりました。
45度回転させた軌跡が楕円を描くので、当然もとの軌跡も楕円を描くはずです。

もしかしたら計算ミスなどあるかもしれません。あと、分数の複雑な式を一行にまとめるのに慣れていないので、[ ] まで持ち出してしまい、見にくいとこなどありますが、なんとか読み取って下さいね。
また分からないところがありましたら、聞いてください。

回答No.2

KaitoTVGAMEKOZOU

なかった。ところで（２）がわからないみたいだけど、三角関数の合成というのはご存知？
教科書ではsinの場合だけど当然cosの場合もあるやつ。あの公式は美しくないので私は覚えていないのだけど、加法定理の逆ををやっているだけなので簡単に理解できると思う。
あの公式は、部分積分法の公式と同様に覚えてはいけません。部分積分法の公式は積の微分公式の逆をやっているだけだからね。

ヒント
Ｒ（1/2cosθ＋√3/2sinθ、√3/2cosθ＋1/2sinθ）
でＲｘをｃｏｓで表し、Ｒｙをｓｉｎで表す。位相（sinやcosの中身）は同じにすることに注意すること。

さて、出来たら回答を「お礼」に書くこと。

お礼

回答ありがとうございます。

質問内容に書けば良かったのですがそれはやってみました。
僕が最初に回答したとき、Ｒを変形して、Ｒ（cos(θ－60),sin(θ＋60))
という形にしてcos^2θ+sin^2θ=1に代入するのかなと、思ったのですが
位相が同じにならずにどうしていいか解らなかったので、このやり方では
できないのかなと、思ったんです。この先どうしたらいいか解らないので、
もう少しヒントもらえませんか？よろしくお願いします。

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU

標準形とは。karuuさんがが今まで習ってきた図形の形をいう。
円ならｘ^2＋ｙ^2＝1…（１）、双曲線ならｘ^2－ｙ^2＝1…（２）で表される図形です。
では標準形ではないものはどういうものかというと、
ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2＝４…（３）のようにｘｙとかが中に入っている式が表す図形だ。

標準形に直すということは、（３）式の図形を今までにお勉強した、（１）、（２）式のような式に直すことなんだよ。この場合、図形は回転移動する。
さて、ずいぶん前にどっかで似たような質問があったような気がしたので探してくるまで待っててね！
ちなみに、「大学への数学　数学ショートプログラム」という本に図形の変換のテクニックが載っているので参照してね。