素数の疑問と最小公倍数の疑問

質問

先日中学２年生の甥から以下のような質問を受けました。
「素数って約数がちょうど２個の数の事？」
うーむ。確かにこれなら１を除くことができるわけですし、いいかな？と思ったのですが、実際のところどうなのでしょう？素数の正確な定義に照らし合わせるとどうなるかが知りたいです。「素数とは約数がちょうど２個（１とそれ自身）の自然数」とはっきりと答えても正しいのでしょうか？
「そうだ！！」と答えられない中途半端な学力が情けないです。

後、これは私の体験談というか、中学生のころ思ったんだけれども実行しなかったことなのですが、例えばテストで「６と８の最小公倍数を求めよ」と言う問題があったとき、答えを「０」としてはならないのでしょうか？そのときは「テストで聞かれているから」ということで「２４」と答えていたのですが。実際、「０」と答えた場合マルはもらえないでしょうか？数学の教師の方どうでしょう？私の記憶では、問題文には特に「自然数で」とは書かれていなかったと思います。いや、書かれていたかも？もしそうなら、私の単なる勘違いでいいのですが。
中学生のころちゃんと教師に聞いとけば、ここまで引きずることは無かったのにちょっと後悔しています。

恥を忍んで伺います。よろしくお願いいたします。私の疑問を一刀両断にしてください！

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

手近にある整数論の本で再確認しました。

「整数論」ヴィノグラードフ（共立全書）より
「１より大きいどんな整数も、少なくとも２つの約数、すなわち１とそれ自身をもつ。これら２つですべての正の約数が尽くされているような整数は、素数と名付けられる。」
とあるので
「素数とは約数がちょうど２個（１とそれ自身）の自然数」
と定義して構わないと思います。

２つめの疑問に関しては
「いくつかの与えられた数のすべての倍数であるようなどんな整数も、それらの公倍数と名付けられる。最小の正の公倍数は最小公倍数とよばれる。」（同上書より）

と言うわけで最小公倍数の定義の中にすでに「自然数であること」と言う条件が含まれています。
ですから Magoichi さんが「０」と解答して「『自然数で』とは書かれていなかった」と主張したとしても「授業を聞いていなかったな」と張り飛ばされるのがオチだったことでしょう(^^;

お礼

oodaikoさん、どうもご回答ありがとうございます。

♪「１より大きいどんな整数も、少なくとも２つの約数、すなわち１とそれ自身をもつ。これら２つですべての正の約数が尽くされているような整数は、素数と名付けられる。」

なるほど。こういう内容が知りたかったです。早速甥にもメールし、私も整数論を購入してみます。
ところでいつも疑問に思うことですが、なぜ簡単な方が定義として残らないのでしょうか？「素数とは約数がちょうど２個の自然数」の方がわかりやすいと思うのですが。その辺がちょっと一般数学素人が立ち入りにくい要因の一つになっていると思います。
なるほど数学は厳密さが重要視される学問だと思います。例えば厳密な意味では「実数とは数直線上の点全てである」と言う風にはいかないと思います。しかし、今回質問した件では、「約数がちょうど２個」と言う点で全て要約されて然るべきと思うのです。すみません。愚痴ってしまいました。
♪「いくつかの与えられた数のすべての倍数であるようなどんな整数も、それらの公倍数と名付けられる。最小の正の公倍数は最小公倍数とよばれる。」（同上書より）

うわっ！やっぱ私、授業聞いてなかったか！！
ん？えーと、すみません。「・・・全ての倍数であるようなどんな整数も、それらの公倍数と名付けられる。」「最小の正の公倍数は最小公倍数とよばれる。」
公倍数が整数と定義されているなら、そのうち最小なものでも、やっぱり「整数」としか定義されていないのではないでしょうか？あれ？？でも「正の」公倍数と言うことは１以上と言うことになるから、つまり、公倍数は整数（もちろん０も含む）なのに、最小公倍数となると、いきなり（！）「正の」となって、自然数になるということでしょうか？
うわー。こんなことが中学生の時の教科書に書いてあったかは甚だ疑問です。
公倍数なら０を含むのに、最小公倍数なら１以上とは！！
テストのためにこじつけたとしか思えないです！

どうもご回答ありがとうございました。