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測度論の非可測集合って何？
stomachmanの回答
- stomachman
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独り言が聞こえちゃいましたので.... (1) 有理数の点の集合には面積がないのはばらばらだからです。その通り。「こういう面積0の集合を除けば、XXXが成り立つ」を「ほとんど至る所でXXXである」と言い、この言い方を発明したのがルベーグ先生。この言い回しのおかげでいろんな関数の積分が計算が出来るようになったんです。 (2) ガスケットを描く方法。有名なパスカルの三角形を描いてください。ただし、奇数を赤・偶数を黒で書きます。（Excelでもできます） (3) 面積が非可測とは、要するに分割して、それぞれ測って寄せ集めると、もとより大きくなってしまう（加法性が成り立たない）ということです。ちょっと似たイメージのものに、人形などの絵が沢山描いてあるカードを３つに切って、並べ直すと、人形の数が変わる、というトリックがあります。 (3-2) アルゴリズムを記述すること：アルゴリズム（プログラム）も文字で書くので、必ず有限個の記号で表されます。これを２進数コードで表現すれば、じつは１個の自然数に過ぎない。つまり、全てのアルゴリズムを集めても可算無限個しかありません。また、そのどれも非可測集合を定義しないことが知られています。 (4) 「選択公理を使わない」とは、具体的に選び方が決められるという場合以外には選択をしてはならない（とにかく代表選手を集めた集合を構成できた、ということにしてはいけない）ということです。勿論有限集合が相手ならいつでも選択は可能です。 数学は「無限」を研究する学問であると言われます。純粋数学者会議のスローガンは「純粋数学が永遠に発展し、かつ何の役にも立たないことを祈る」というもの。（ところがどんなに「実用には関係ない」と思われる理論も、ずっと後になってもの凄く役立ったりするのも面白いところです。）僅かな公理から、とても豊かな内容、直感に合わない結果を含む世界を作り上げることが醍醐味であり、哲学と芸術の狭間にあって、未知の宇宙を創造する、ある意味ではうらやましい活動です。どんなに科学技術が進んでも無くなることはないでしょう。 アマチュアが数学の醍醐味や哲学性を味わうには、基礎論が一番だと思います（最先端は難しすぎるので）。 さあ、はまりましょう。さあ！
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感謝！感謝！ 感激です！ こんなに速くレスがもらえるなんて。ホント、ありがとうです。 ひとり言にまで答えてもらって、いいなあ、なんだか自分の世界がグーンと広がったみたいで うれしいです。（ホントにネットはすばらしい！） > 哲学と芸術の狭間にあって、未知の宇宙を創造する、ある意味ではうらやましい活動です。 そーですねー。前から思っていたのですけど、数学研究は「発見行為」ではなくて「創造行為」 ですよね。人間の純粋理性思考が新宇宙を創造するのですものね。 「真理は主観的・意思的に創造されるものである」これは私が作った格言です。 （また、いつかお相手してください）