How to Solve the Standard Eigenvalue Problem for a Symmetric Matrix
- Learn how to solve the standard eigenvalue problem for a symmetric matrix in numerical calculations.
- Understand the mathematical equation and process involved in solving the eigenvalue problem for a symmetric matrix.
- Discover the significance of the problem in relation to band calculations in photonic crystals.
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standard eigenvalue problem for a symmetric matrix
現在ある固有値問題に直面して困っています。 その問題はフォトニック結晶のバンド計算を行う時にでてくる式で、 ∞ ∞ Σ Σ B(n-n',m-m')A(n',m')=λA(n,m) n'=-∞ m'=-∞ というものです。和を有限の値で打ち切って数値計算で固有値を求めるというものです。 A、Bは共にある二次元フーリエ級数の係数になっており、A(n,m)=A(-n,-m)と実負で対称になっています。 なおBは既知の値です。 これは基本的な対称行列の固有値問題になっているらしいのですが、私にはよくわかりません。 どなたかこの式を数値計算で解く手引きをご教授ください。お願いします。
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格子で蹴られて違う運動量に移る様子（要は周期格子中の波動方程式）をあらわしていて波数ベクトルをつかってあらわすと Σ B(k-k')A(k')=λA(k) k' （λが決まればブリュリアンゾーンの中の位置が決まる）という方程式ではないかと思うのですがこれを解くには基本的に方程式を解くのと同じぐらい大変だと思うのですが？ 単に行列に直せばよいのであれば波数空間中の各点を座標と考えて行列 式とみなせばよいと思います。たとえば、-N～Nで打ち切るとすると (2N+1)^2元の連立１次方程式つまり(2N+1)^2×(2N+1)^2のすかすかの行列 とみることはできるとおもいます。その場合B(k-k')＝B(k'-k)であることから 対称行列になっているとみなすことができるとは思いますが基本的かどうかはBによるんじゃないでしょうか。 そのほかの可能性としては、nとｍで独立だとか（微分方程式の変数分離に相当すると思います。）この場合は上と同じ理由で各方向ごとに対称行列が出てくると思います。
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