Einsteinのブラウン運動（酔歩の理論）について教えてください。

質問

拡散係数を原子のジャンプと関連付ける酔歩の理論（Einsteinのブラウン運動）について教えていただきたいのですが、
D=Ffr2(二乗です）/6
f:拡散ジャンプ頻度
r:ジャンプ距離
F:相関係数、F<1
D:拡散係数
を導くにはどうしたらよいのでしょうか。いろいろと本で調べてみたのですが、どうしても見つかりません。
少しでも導くヒントをお願いします。

回答No.1

noname#2380 · ベストアンサー

blue_monkeyと言います。
すでに解決済みだと思いますが、アドバイスさせていただきます。参考にしていただければ幸いです。
【参考資料】
統計物理学　岩波講座
キーポイント確率・統計　岩波書店
「拡散方程式」、「酔歩」のキーワードで質問検索を行えば、参考になる回答がいくつかあります。
上記以外にも、統計力学、ブラウン運動、確率の参考書を探せば記述があると思います。

下記に蛇足の記述をさせていただきます。読み捨ててください。
【蛇足】
位置は
x=nx*a
y=ny*a
z=nz*a
時間は
t=N*τ
またτ毎にx,y,z方向に対して、独立に、確率0.5で、+a,-aだけ移動すると考えます。

1次元
(1)……<a*nx>=0
Δx=a*nx-<a*nx>
(2)……<Δx*Δx>=N*a^2
Nステップで位置nxにある確率をP(t,x)=P(τ*N,a*nx)とすると
(3)……P(τ*(N+1),a*nx)=P(τ*N,a*(nx+1))+P(τ*N,a*(nx-1))
を満たすことが確認でき、
右辺についてτについて1次まで、
左辺についてaについて2次まで
展開すると下記の拡散方程式が求まります。
(4)……(∂/∂t)P(t,x)=0.5*a^2/τ*(∂/∂x)(∂/∂x)P(t,x)
(4)式より拡散係数は
(5)……D=0.5*a^2/τ
(2)式の<Δx*Δx>=N*a^2=t/τ*a^2を(5)に代入すると
D=0.5*<Δx*Δx>/t
2次元の拡散方程式は、ステップNで、位置nx,nyにある確率P(τ*N,nx*a,ny*a)が
(6)……P(τ*(N+1),a*nx)
=P(τ*N,a*(nx+1),a*(ny-1))+P(τ*N,a*(nx-1),a*(ny+1))
+P(τ*N,a*(nx+1),a*(ny+1))+P(τ*N,a*(nx-1),a*(ny-1))
を満たすことが確認でき、1次元の時と同様に、τについて1次、aについて2次まで展開すると、(7)式の拡散方程式が得られます。
(7)……(∂/∂t)P(t,x)
=0.5*a^2/τ*[(∂/∂x)(∂/∂x)+(∂/∂y)(∂/∂y)]P(t,x)
拡散係数は1次元のときと同じD=0.5*a^2/τとなります。3次元についても同様な計算をおこない拡散方程式を導出すれば、拡散係数はD=0.5*a^2/τになることが予想されます（Blue_monkeyは1次元,2次元までしか導出の確認を行っていません）。

以上の拡散方程式から導出される拡散係数Dは
1次元,2次元,3次元でも全て同じく
D=0.5*a^2/τ
で記述されます。
1次元の場合の距離の分散は
(8)……<Δr*Δr>
=<Δx*Δx>
=N*a^2
=a^2*t/τ
2次元の場合の距離の分散は
(9)……<Δr*Δr>
=<Δx*Δx+Δy*Δy>
=2*N*a^2
=2*a^2*t/τ
3次元の場合の距離の分散は
(10)……<Δr*Δr>
=<Δx*Δx+Δy*Δy+Δz*Δz>
=3*N*a^2
=3*a^2*t/τ
(8),(9),(10)の結果を用いると、拡散係数Dは
1次元
(11)……D=(1/2)*<Δr*Δr>/t
2次元
(12)……D=(1/4)*<Δr*Δr>/t
3次元
(13)……D=(1/6)*<Δr*Δr>/t
質問中にあります拡散係数について考えますと
D=0.5*a^2/τ=(1/6)*(3*a^2/τ)
τ秒毎に±a移動するということから、1/τは、chibittzさんのf:拡散ジャンプ頻度に相当します。
aが移動するステップより、chibittzさんのr：ジャンプ距離に相当します。
残りのファクタ3がつじつま合わせ的にはchibittzさんのF:相関係数に対応することになりますが、1より大きいこと、また導出の上でも相関係数の意味を持たないように思われます。
chibittzさんの記載された関係式は、現在のところ、得られていません。

【その他】
2次元の酔歩問題で、
１）(r,φ）の極座標で考えたときの取り扱い。
２）1ステップで、x,y方向を独立にしているが、確率を0.25として、(0,a),(0-a),(a,0),(-a,0)としたときの取り扱い。
がどうなるのか、暇なときに考えようと思っています。

誤記、計算間違い、ウソがありましたらゴメンナサイ。

お礼

ご丁寧に教えていただき、ありがとうございます。
図書を探す際に「ブラウン運動」のほうで探していたためよい参考書に
めぐり合えませんでした。
そうですね、拡散や確率のほうから探せばよかったんですね。
どうもありがとうございました。