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足し算

2001/12/05 23:41

starfloraの回答

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starflora
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2001/12/06 16:21 回答No.6

　　　すでにディベートには間に合わないかも知れませんが、明日必要という場合、せめて、夕方５時とか６時に質問を出すべきだったとも思います。　　　また、ディベートに必要で教えて欲しいというのは、質問者の必要性ですが、ここは、質問に対する回答を蓄積するというサイトでもあります。そういう訳で、私見を記します。　　　少し難しい話ですが、整数も少数・分数も「実数」であるので、足し算の意味は同じであるというのは、よく出てくる意見で、実は、そうではないのです。実数という数の集合を一旦造ってしまうとそういう風な見方になるのですが、実は、別の考え方もあるのだということが忘れられているのです。　　　言葉が分からないかも知れませんが、後で少し説明します。　　　整数は、「群」として、集合として閉じています。整数同士の足し算というのは、この群集合を構成する、「演算」なのです。群には、「逆演算」というのものが普通あるのですが、「逆演算」は、「引き算」になります。　　　小数や分数は、分数の場合は、有理数体という、「体」という名前のある集合なのです。小数も含めると、「実数体」という「体」になります。　　つまり、分数で使われる「足し算」は、有理数体の「演算」としての「足し算」なのです。これは、整数群の演算としての足し算とは、また違うのです。また、小数で使われる「足し算」は、実数体の「演算」としての「足し算」です。だから、それぞれ、「演算」として違っているのです。　　　実数の場合と、整数の場合で、「足し算」が同じに思えるのは、実数体を造った後、整数群の要素、つまり、１，２，３，……－１、－２等を、実数として捉え直すからです。（１と 0.99999……は同じ数か違う数かという問題でも、整数群の要素の１と、実数体の要素の１を混同しているので、話が錯綜するのです。整数群の要素の１は、無論、0.99999……とは「違う数」なのです。しかし、実数の１と整数群の１を同じ数とするという定義を置くと、また置いているので、整数の１が0.9999……と同じになるのです。この整数の１と、実数の１の違いと、同じと定義するという過程がよく分かっていないので、こういう問題が起こります）。　　　何か、難しい、意味不明なことを書いたように思えますので、少しだけ説明します。　　　元々、足し算というのは、整数のあいだで考えられていたのです。本当は自然数のあいだで考えられていたのです。ものの数を数える時は、自然数だった訳です。しかし、「引き算」というものがあり、３個の石がある、ここから５個の石を取ったらどうなるか、という問題を考えると、そんなことはできないのですが、そこで、足りない２個を借りて来て、例えば赤い石にして取ると、マイナス５の引き算ができるのですが、そこでは、赤い石が２個できるのです。これを、マイナス２だと考えようということにしたのです。　　　これを、「数の拡張」と言います。　　整数のあいだで、幾ら足し算をしたり引き算をしたりしても、答えは整数です。これを、整数（群）は、「閉じている」と言ったのです。　　　けれども、例えば長さなどだと、１の長さと２の長さの半分の長さというものが考えられます。また、袋のなかに林檎が４個ある。こういう袋が５個あると林檎は全部で幾つかというのは、４かける５で、２０個になります。これが「かけ算」です。けれども、整数を幾らかけ算しあっても、大きな数ができるだけで、整数しか出てきません。　　　そこで、「わり算」というものを考えると、例えば、３を２で割るとどうなるのか、というと、答えは、整数になりません。マイナスの数を考えたように、「数の拡張」を行って、３割る２は、１．５あるいは分数で、３／２だとするのです。　　　整数の時の「足し算」「引き算」と、こういう風に「かけ算」「わり算」も加えて造った数の時の「足し算」「引き算」は、本当は違ったものなのですが、「かけ算」や「わり算」もある数（これを「有理数」と言います）で一度考え始めると、有理数での「足し算」「引き算」と、整数（群）での「足し算」「引き算」は、同じようになるので、同じだと思えるのです。　　　けれども、元々違っているのです。　　これを、数の拡張という段階で考えて、「違う」とするのが、いまの説明ですが、拡張した結果の実数で考えて、「同じ」とする考えもあるということです。　　　それでも地球はまわっているではありませんが、本当は、違っているのです。整数の足し算・引き算は、「整数群」として閉じている演算だからです。　