足し算

質問

足し算の意味について、整数の場合と小数・分数の場合と、同じ意味なんでしょうか？理由と共にお答えください。明日ディベートなんですぅ(+_+)

回答No.6

starflora · ベストアンサー

すでにディベートには間に合わないかも知れませんが、明日必要という場合、せめて、夕方５時とか６時に質問を出すべきだったとも思います。

　　また、ディベートに必要で教えて欲しいというのは、質問者の必要性ですが、ここは、質問に対する回答を蓄積するというサイトでもあります。そういう訳で、私見を記します。

　　少し難しい話ですが、整数も少数・分数も「実数」であるので、足し算の意味は同じであるというのは、よく出てくる意見で、実は、そうではないのです。実数という数の集合を一旦造ってしまうとそういう風な見方になるのですが、実は、別の考え方もあるのだということが忘れられているのです。

　　言葉が分からないかも知れませんが、後で少し説明します。

　　整数は、「群」として、集合として閉じています。整数同士の足し算というのは、この群集合を構成する、「演算」なのです。群には、「逆演算」というのものが普通あるのですが、「逆演算」は、「引き算」になります。

　　小数や分数は、分数の場合は、有理数体という、「体」という名前のある集合なのです。小数も含めると、「実数体」という「体」になります。
　　つまり、分数で使われる「足し算」は、有理数体の「演算」としての「足し算」なのです。これは、整数群の演算としての足し算とは、また違うのです。また、小数で使われる「足し算」は、実数体の「演算」としての「足し算」です。だから、それぞれ、「演算」として違っているのです。

　　実数の場合と、整数の場合で、「足し算」が同じに思えるのは、実数体を造った後、整数群の要素、つまり、１，２，３，……－１、－２等を、実数として捉え直すからです。（１と 0.99999……は同じ数か違う数かという問題でも、整数群の要素の１と、実数体の要素の１を混同しているので、話が錯綜するのです。整数群の要素の１は、無論、0.99999……とは「違う数」なのです。しかし、実数の１と整数群の１を同じ数とするという定義を置くと、また置いているので、整数の１が0.9999……と同じになるのです。この整数の１と、実数の１の違いと、同じと定義するという過程がよく分かっていないので、こういう問題が起こります）。

　　何か、難しい、意味不明なことを書いたように思えますので、少しだけ説明します。

　　元々、足し算というのは、整数のあいだで考えられていたのです。本当は自然数のあいだで考えられていたのです。ものの数を数える時は、自然数だった訳です。しかし、「引き算」というものがあり、３個の石がある、ここから５個の石を取ったらどうなるか、という問題を考えると、そんなことはできないのですが、そこで、足りない２個を借りて来て、例えば赤い石にして取ると、マイナス５の引き算ができるのですが、そこでは、赤い石が２個できるのです。これを、マイナス２だと考えようということにしたのです。

　　これを、「数の拡張」と言います。
　　整数のあいだで、幾ら足し算をしたり引き算をしたりしても、答えは整数です。これを、整数（群）は、「閉じている」と言ったのです。

　　けれども、例えば長さなどだと、１の長さと２の長さの半分の長さというものが考えられます。また、袋のなかに林檎が４個ある。こういう袋が５個あると林檎は全部で幾つかというのは、４かける５で、２０個になります。これが「かけ算」です。けれども、整数を幾らかけ算しあっても、大きな数ができるだけで、整数しか出てきません。

　　そこで、「わり算」というものを考えると、例えば、３を２で割るとどうなるのか、というと、答えは、整数になりません。マイナスの数を考えたように、「数の拡張」を行って、３割る２は、１．５あるいは分数で、３／２だとするのです。

　　整数の時の「足し算」「引き算」と、こういう風に「かけ算」「わり算」も加えて造った数の時の「足し算」「引き算」は、本当は違ったものなのですが、「かけ算」や「わり算」もある数（これを「有理数」と言います）で一度考え始めると、有理数での「足し算」「引き算」と、整数（群）での「足し算」「引き算」は、同じようになるので、同じだと思えるのです。

　　けれども、元々違っているのです。
　　これを、数の拡張という段階で考えて、「違う」とするのが、いまの説明ですが、拡張した結果の実数で考えて、「同じ」とする考えもあるということです。

　　それでも地球はまわっているではありませんが、本当は、違っているのです。整数の足し算・引き算は、「整数群」として閉じている演算だからです。

お礼

ほんとにもっと早く質問すればよかったです…(+_+)
なんだかとっても難しくて算数苦手な自分には「？」な部分もありますが、ほぼ納得しました（←ホントか?!）
ありがとうございましたm(__)m

回答No.5

maruru01

こんにちは。再びmaruru01です。
ちょっとnozomi500に対する意見を。本来はあまり回答者どうしで意見を言い合うのはよくないかも知れませんが、今回は、そういう意見の言い合い自体が質問者さんに参考になるのではないかと思い、書くことにしました。

さて、例に出された問題は、確かに小数や分数は使えません。ですが、足し算（と引き算と掛け算）については、「量」における考え方と違いはありません。なぜかというと、足される数と足す数は、当然最初から整数と決まっているので、足し算の結果も整数にしかなりません。問題としてたまたま小数を使用しないというだけで、足し算（や引き算や掛け算）としての違いは無いわけです。
「太郎君～」も、「3」という数に「2」という数を足したら、「5」という答えが導かれたというだけです。
もう一度いいますと、足し算というのは、
「ある実数にある実数を加える」ということで、場合によっては、小数を使用しないというだけのことです。
ちなみに、割り算が出てくるとちょっと話が違ってきます。例えば、「13人をほぼ均等に3つのグループに分けると、それぞれ何人のグループになるでしょう」というい問題では、割り算の結果は小数ですが、人の数ですから、答えを整数にしなければならないわけです。
あと、ちょっと蛇足かも知れませんが、整数での考えがむしろ「デジタル」で、量で考えることが「アナログ」だと思うのですが。
では。

回答No.4

nozomi500

2に補足。
「帯分数」ですが、「引き算」のときに「くり下がり」のために部分的に仮分数にすることはあるのですが、たとえば、８と５／７のときに、７と１２／７にすりゃいいものをわざわざ６１／７にする生徒。

maruru01さん、「量」で考えるかぎり、実数であればみな同じですが、整数に限る場合は「順序」というのがあります。小数や無理数は出てきません。パズルの世界では整数に限るものは多いです。「0.3番目の子供」とか「√3年生」とか。
こういうのを使う足し算はあります。
「太郎君は前から3番目に並んでいます。一郎君は太郎くんの2人後ろです。一郎君は前から何番目に並んでいますか？」

デジタルに「数字」でみるだけでなく、「数」としてみると、いろいろ考えられます。

お礼

…私は帯分数を仮分数に直す人間です(+_+)
「数」という考えって意外と持てないですね。
ディベートの敵方とそんな部分を詰めて戦いました。
ありがとうございました。

回答No.3

maruru01

こんにちは。maruru01です。
まずお訊きしたいのですが、なぜ、「整数」と「小数・分数」を分けるのでしょうか。
どちらも「実数」であることには変わりは無く、当然足し算の意味も同じです。
つまり、「ある実数にある実数を加える」というわけです。
整数は小数点以下がたまたま0の実数ですし、小数は小数点以下がたまたま0でない実数です。
分数はこれらの数の表現の仕方の違い、もしくは、ある数を数式の形で表しているだけです。
つまり、小数の0.5を、1÷2＝1/2としているだけです。
さらに整数の2も、2÷1＝2/1と表すことだって出来るわけです。
まとめますと、「整数と小数・分数に数としての違いはなく、従って足し算の意味も同じである。」ということです。私なら、このように論陣を張りますね。
参考になりましたら幸いです。
では。

お礼

そのまとめいただきました！！ありがとうございましたm(__)m

回答No.2

nozomi500

「足し算の意味」というより、「足し算の方法」ということでしょうか。

「足し算」そのものの「意味」としては、「整数」独特のものとして、「順序」の足し算があります。「３年生」などは「順序」を表わす数だから、「小数」や「分数」になりませんね。「前から５番目」とか。
「量」については、小数も分数も同じでしょうね。

「方法」について考えると、「位をそろえて」という点では同じですね。（小数の計算で「小数点をあわす」のでなく「位をそろえる」のですね。
「整数では右にあわせるのに、小数では小数点にあわせる」という「違い」を言う人がいるかもしれませんが、意味としては「同じ」です。

帯分数の足し算（引き算でも同じだけれど）で、「仮分数」になおして足し算して、また帯分数になおす、というご苦労な作業をする子がよくいます。基本的に足し算が理解できていないのじゃないかなあ。
（それを確認するためにディベートがあるなら、たいしたもんだ。）

回答No.1

sukakissy

ディベートなら自分で考えた意見でガンバレ！！！
と、いいたいけど、せっかくこたえるんだからちゃんと答えてあげたいのですが、
少し材料不足です。あまり要領を得る答えではないのですが、乱文オツキアイよろしく

足し算というのは或数字に或数字を加えるという作業ですよね？
その或数字Aがもし整数であった時
整数に整数を加える作業です。出てくる数字はきれいな整数です。
もし、Aが小数もしくは分数であったばあい、
やはり、そこに出された数に加える作業には違いがないように思います。
よってわたしの答えとしては、同じ意味です。
しかし、ディベートなんですよね？
そのばあい、反論意見立場になることもあるわけですよね？
むしろ反論意見のほうがどのようにつくりだしていいものか、
滅法見当もつきません。
そのときは本当にがんばってかんがえてください。
それでは失礼します。

お礼

ありがとうございますm(__)m実際情報少なすぎですね…。ちなみにディベート勝ちました！