三角関数を微分する公式の証明

質問

初めまして。「数学の風景が見える微分・積分の意味がわかる」という本を読んで微分の勉強をしています。
その中の第3章「15 三角関数と微分」(P95)の内容がわかりません。
具体的には以下のとおりです。（以下、引用です）

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単位円周上を運動する点をP(x,y)、動径OPの表す角をΘとすると、
x=cosΘ、y=sinΘとなる。
ここで、図のようにOPを微小な角ΔΘだけ回転した動径をOQとし、
点Pのx,y座標の増分をそれぞれΔx、Δyとする。
また、弧PQは半径の1の円弧であるので弧PQ=ΔΘとなる。

図のようにH、Rをとると、ここで弧PQ、直線PQ、点Pにおける円の接線の
3つの線はほとんど重なるので、三角形OHPと三角形QRPは相似になる。
Δx、Δyの符号も考えると
Δx/ΔΘ≒-sinΘ、Δy/ΔΘ≒cosΘ
となる。（以下、略）
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図が書けないので補足します。
Pは単位円上の1点
Hはそこからx軸に向かって引いた垂線がx軸と交わる点
Rは、Qからx軸に向かって引いた垂線と、Pからy軸に向かって引いた平行線が交わる点

疑問なところは、「なぜ三角形OHPと三角形QRPが相似になるのか」です。
PからΔΘだけ回転させた時のQの位置はPに限りなく近いのであれば、
角PQRはΘにはならないと思います。
角PQRがΘになるのはRが限られた1点のような気がします。

すみませんが、わからなくてこれ以上先のページが理解できなくなっています。
ご回答の程、よろしくお願い致します。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> Rは、Qからx軸に向かって引いた垂線と、Pからy軸に向かって引いた平行線が交わる点

ここにある『平行線』というのは、x軸に対して平行という事でしょうか？
そうだという仮定で話を進めます。

とりあえず、単位円上に点P、点Qを適当に配置します。
この時、∠POQ = ΔΘですよね？
それ以外に点H、点Rも書き入れます。ここで∠POH = Θです。 ―――― (＊)

（動径OPの表す角をΘとしているので）
また、

『点Qを通り、x軸に垂直な直線』
『単位円の点Pにおける接線』、

この2つの直線が交わる点を、点Q'とおきます。
とりあえず最初は、ΔΘはそれなりの大きさとし、
三角形POH、三角形PQ'Rが相似かどうかを考えます。
まず、

∠OHP = ∠Q'RP = 90°―――― (1)

次に、

∠RPO + ∠OPH =　∠RPH = 90°―――― (2)
∠RPO + ∠Q'PR = ∠Q'PO = 90°―――― (3)

(2) - (3)より

∠OPH - ∠Q'PR = 0
∴∠OPH = ∠Q'PR ―――― (4)

(1)、(4)より2角が等しいので、三角形POHと三角形PQ'Rは相似となります。
ここで動径OQが辺OPに重なるように、ΔΘを徐々に小さくする事を考えて下さい。
すると、点Q'が点Qに近づきますよね？
なのでΔΘが十分に小さければ、三角形PQRは三角形PQ'Rと一致すると考えられませんか？
よって三角形POHと三角形PQRは、ΔΘが小さければ相似と見なすことができます。

> 線分PQ=ΔΘ、線分QR=Δy、線分PR=Δxとなっており、

三角形PQRで考えます。

> ここで、図のようにOPを微小な角ΔΘだけ回転した動径をOQとし、
> 点Pのx,y座標の増分をそれぞれΔx、Δyとする。

これを考えると

点Pの座標 = ( x , y )
点Qの座標 = ( x + Δx , y + Δy )

点Rの座標は、点Qの真下にあるので『点Qとx座標が一致』し、
点Pの真横にあるので、『点Pとy座標が一致』します。
なので

点Rの座標 = ( x + Δx , y )

となります。ここから

辺PRの長さ = Δx
辺QRの長さ = Δy

となります。次に辺PQの長さですが、ここで中心角ΔΘの扇形OPQを考えます。
扇形の中心角ΔΘが十分小さければ、弧PQの長さは、辺PQ（弦PQ）の長さと
等しいと見なすことができます。
これは実際に扇形を描いてみると分かりやすいと思います。
今回はこれを利用したのではないでしょうか？
弧PQの長さは

弧PQの長さ = 2π × ( ΔΘ / 2π ) = ΔΘ

故に、

弧PQの長さ = 辺PQの長さ = ΔΘ (但し |ΔΘ| ≪ 1 )

> 不思議なことに∠PQR=Θともなっています。

(＊)より∠POH = Θ。また、三角形PQ'Rと三角形POHは相似なので

∠PQ'R = ∠POH = Θ　―――― (5)

ここで、ΔΘが十分に小さければ、三角形PQRは三角形PQ'Rと
一致すると考えられるので、(5)式のQ'をQと置き換えて

∠PQR = ∠POH = Θ

とすることができるのではないでしょうか？

お礼

解決しました。
回答ありがとうございます。

「平行線」は、x軸に対して平行という事でOKです。
質問に記載した書籍は、微分のページになってから難しくなったので、
理解するのがちょっと辛くなって来ています。

あと、できれば今読んでいる本の後におすすめの
微分・積分の本があれば教えてください。

最終的な目標としては、経済や統計、物理の分野の本を読んだ時に、
数学が登場しても式の意味が理解できるレベルになりたいと思います。
わからなかったとしても、少し調べればすぐに理解できる下地を作りたいです。

実用的にはそれほど難解な理論は使わないと思いますので、
最低でも標準的な高校数学レベルのことを身に付けておきたいと思います。

回答No.3

age_momo

>弧PQ、直線PQ、点Pにおける円の接線の3つの線はほとんど重なる

ここが味噌ですね。Θが小さくなると線分PQを接線と見なそうと言うのです。
線分PQが円の接線とみなせるのなら∠OPQは直角です。
ΔPQRにおいて∠QRP=90°よって
∠PQR+∠QPR=90°
∠PQR=90°-∠QRP=∠OPQ-∠QRP=∠OPR
RP//OHより
∠OPR=∠HOP
∴∠PQR=∠HOP
直角三角形の残る一角が等しいので
ΔPQR∽ΔOHP

お礼

解決しました。
ありがとうございました。

∠PQR=90°-∠QRP …
の部分は、その上の式の変形で、
∠PQR=90°-∠QPR …
ですよね。

納得しました。
わかれば簡単なことでしたね＾＾；

回答No.1

kairann

高校２年の男です。割と最近三角関数の微分をやりました。（証明の仕方は違ったけど）
図がないので非常に説明しにくいのですが、説明してみます。

まず、ΔΘが非常に小さい角度なので、点Ｐでの接線と直線ＰＱは平行とみなすことが出来るというのがポイントです。
ＰＱは接線と平行とみなせるので∠OPQ = 90°

そこから作図によって　∠PQR = Θ　　になります。

よって、直角三角形の相似条件により、直角とその他一角が等しくなって、その２三角形は相似になります。

補足

早速のお返事ありがとうございます。
僕は大学生ですが、数学を忘れてしまったので復習しています。

点Pでの接線と直線PQが平行というのは理解できました。
PQは接線と平行とみなせるので、∠OPQ=90°も理解できます。

しかし、書籍の内容によると、△PQR（RはQの真下でPの真左）で、
線分PQ=ΔΘ、線分QR=Δy、線分PR=Δxとなっており、
不思議なことに∠PQR=Θともなっています。

そして、この△PQRと△OPH（HはPからx軸への垂線）が相似と言っています。

ここが理解できていません。

すみませんが、もう少し掘り下げてご説明願えませんでしょうか。