関数の連続の問題

質問

次の方程式の実数解は、どんな連続２整数の間にあるか？

（１）X^3 + X^2 - 2x - 1 = 0

（２）2x^3 - x^2 - 4x + 2 = 0

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（１）

ともに式をf(x)とおいて、
f(-2)<0 、 f(-1)>0 、 f(0)<0 、 f(1)<0 、 f(2)>0　より

解は-2と-1、-1と0、1と2の間にあることはわかるんですが、

f(x) のxに代入する整数を一体どうやって決めるのでしょうか？
例えば、答えは「10000と10001の間」かもしれないじゃないですか。
適当に当てはめていたら答えを出すのに何時間かかるかワカラナイじゃないですか。

（２）の場合も同様です。ちなみに解答は
-2と-1、0と1、1の2　の間です。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

> （１）X^3 + X^2 - 2x - 1 = 0
X^3 + X^2 - 2X - 1 = 0
の間違いではないかと思います。

kony0さんと同意見です。
でももうちょっと具体的にやってみましょう。

３次方程式ですから、最小１個、最大３個の実解を持ちますね。もし解が２個なら、その一方は重解です。
F(X)= X^3 + X^2 - 2X - 1
をXで微分してみると
F'(X)=3X^2+2X-2
ですから、極値はF'(X)=0と置くことで
X=(-1±√7)/3
にあることが分かり、極値は
F((-1+√7)/3)=-7(2√7+1)/27 ＜0
F((-1-√7)/3)=7(2√7-1)/27＞0
です。
　つまり解は３個あり、さらに
(-1-√7)/3＜X＜(-1+√7)/3
の範囲に１個の解が存在することは確実です。しかもこの解は、３個の解のうち最大のものでも最小のものでもない。３つの解を小さい順に並べたとき、２番目の解あることは自明でしょう。
「連続２整数の間にあるか」という設問なんですから、この範囲(-1-√7)/3＜X＜(-1+√7)/3の近くの様子を調べれば良いことが分かる。

（２）2x^3 - x^2 - 4x + 2 = 0
も同様で、解は３個あり、
-1＜x＜2/3
の範囲に（小さい順で）２番目の解があることが分かります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
うーんと、とりあえずわかったようなわからんようなです・・・
けど、２番目の解の範囲からだいたいわかるってことですね！

ありがとうございました

回答No.2

ADEMU

それぞれの式を微分すると
（１）ｆ（ｘ）’＝３ｘ＾２＋２ｘ－２
（２）ｆ（ｘ）’＝６ｘ＾２－２ｘ－４
ｆ（ｘ）’＝０のときグラフの頂点ですので
それぞれの２つの解を求めてその前後の整数をｆ（ｘ）に代入してｆ（ｘ）が０より大か小でｘを求めればよろしいのではないでしょうか。

お礼

うーん、それではできない気がするんです・・・
回答ありがとうございました！

回答No.1

kony0

この問題をやるからには、微分を知っていて、グラフくらいはかけるはずです。（微分を知らない、グラフをかけない人にこの問題を出すのは酷じゃないかなぁ。）
グラフをかけるのなら、ある程度のめぼしを「感覚的には」つかめるはずで、
「10000と10001の間にあるかも？」という疑問は出ないはずです。
また微分すれば、x>(1+√7)/3=1.1…では単調増加なんだから、f((1+√7)/3)（極小点）がどれくらいの値になるのか計算したり（少なくとも正負くらいは）するはずなので、そのあたりから、だいぶん限定されてくるのではないでしょうか？
もっとも、１と２の間なのか、２と３の間なのか・・・は試行錯誤の世界ですが、いずれにせよ「何時間も」かかる類ではないはずです。

あっ、もちろんですが、x>(1+√7)/3では単調増加という情報を（微分の結果）わかっているからこそ、f(2)>0を確認した時点で、f(x)>0 for all x>2が言える、すなわち２より大きいｘに対する関数値を確認する必要がないことが言えるわけで、微分を知らなければ、そこは確証は得られませんね。

お礼

あまりに遅すぎるお礼で申し訳ありません。
その日からテスト週間だったもので・・・・

とりあえず、試行錯誤みたいですね。ありがとうございました