ベクトルの問題です。

質問

今までベクトルの基本問題をやっていたのですが、総合問題に入って苦戦しています。よろしくお願いします。

平行六面体の頂点をA～Hとする。
(1)　　三角形BDE,三角形CEF,三角形DEGの重心をそれぞれP,Q,Rとするとき、
　　　三角形AFHと三角形PQRの面積の比は、すべて平行六面体に対して一定である
　　　事を示し、その比を求めよ。

(2)　　三角形AFH，三角形PQRの重心をそれぞれM,Nとするとき、EMとENの長さの比　　　は、すべての平行六面体に対して一定である事を示し、その比を求めよ。

(1)のほうは、Aを始点にしてAP→とAQ→とAR→を表して、PQ→とPR→を表してと考えていったのですが、計算が複雑になったのであきらめてしまいました。もともとベクトルは苦手なので、教えていただいても理解するのに時間がかかり回答がおそくなるかもしれませんが、よろしくおねがいします。

回答No.3

kony0

#2のレス。

なんか(2)おかしくないです？もう１回見直して下さいね。

ちなみに、(1)は相似が言えるのは大丈夫・・・ですよね？
いわゆる「２辺の比とその間の角が等しい」という相似条件となります。
間の角が等しいのは、平行と使う方法と、内積からcosを考える方法があると思われます。特に後者については、ちょろっと考えておいてくださいね。

補足

うーんと、見直してみました。もしかして
→EM=(→b+→d-→e), →EN=(→b+→ｄ-→e)　だから
EM:EN=1/3:4/9⇔EM:EN=3:4 となってEMとENとの比が逆だったとかでしょうか？

はい、相似のほうは中学の時にいっぱいやったので大丈夫でした。

回答No.2

kony0

linus3030さんが書いてあるとおり、質問形態不備ではありますが、
どーせ平行六面体の頂点の並び順なんて、AからDまでぐるっとまわって、Aの下にEがあって、上と同じぐるっと回ってHまでふってあるだけでしょうから、そのつもりで解答開始。。。

→AB=→b,→AD=→d,→AE=→eとして、→AP,→AQ,→ARをちょろっと計算すると、
→PQ=(1/3)(→b+→e)=(1/3)→AF, →PR=(1/3)(→d+→e)=(1/3)→AH
したがって、（平面AFH//平面PQRや）△AFH∽△PQRが言えます。相似比も明らかなので、(1)は終わり。

→AM,→ANもちょろっと計算して、
→EM=(1/3)(→b+ →d-→e),→EN=(4/9)(→b+ →d-→e)
となるので、E,M,Nは一直線上にあって、比も一定。（比は書きませんぞ！）

計算はぜんぜんしんどくないですぜ。途中の式書いてしまうと、なんら教育的指導にならないと思われるので省きました。基底ベクトルをAB,AD,AE方向に取るのも・・・これ以外に取りようないですしね。

もう一度がむばってみてください。

補足

ご親切な回答ありがとうございました。
さっそくですが、解いてみましたのでご指導お願いします。

(1)　→PQ=1/3(→b+→e)=1/3→AF →PR=1/3(→d+→e)=1/3→AH
　　　となり、△AFH∽△PQRとなる。AF:PQ=3:1より
　　　△AFH:△PQR=3^2:1^2=9:1

(2)　→AM=（1/3)(→b+→d+2→e)　→AN=(4/9)→b+(4/9)→d+(5/9)→e　より
→EM=(1/3)(→b+→d-→e) →EN=(4/9)(→b+→d-→e)　となる。
　　　よって、→EM=(4/3)→EN となるので　EM:EN=4:3

　　　となったのですが、どうでしょうか？自分で解いてみて、ほとんど答えを
　　　教えてもらっているのと同じだなあと、苦笑いしてしまいました。

回答No.1

linus3030

平行六面体の頂点の並び順がわかりません。

Ａから辺で隣接している３点と
Ａと面を共有しない１点をお教えください。

補足

ごめんなさい。kony0さんのおっしゃるようにAに隣接している三点はD,B,EでAと面を共有しない一点はGです。よろしくおねがいします。