級数展開を

質問

exp(arcsin(x))を級数で書きたいのですけど、できれば華麗な手順を教えてください。

回答No.2

oyaoya65

#1です。

手計算でする場合は
＞できれば華麗な手順
などありません。

ひたすら
{e^x}'=e^x
{arcsin(x)}'=1/√(1-x^2)
の公式を繰り返し使ってf^(n) (x)を求めてf^(n) (0)を求めるしかないですね。

回答No.1

oyaoya65

マクローリン展開の公式（|x|＜1）では
f(x)＝f(0)+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+・・・+f(n)(0)x^n/n!+・・・

これに当てはめると
exp(arcsin(x))＝1+x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(5/24)x^4+(1/6)x^5+(17/144)x^6
+(13/126)x^7+(629/8064)x^8+(325/4536)x^9+(8177/145152)x^10+・・・
が出てきました。
収束条件は|x|<１です。

（Mathematicaで展開しました。）