- ベストアンサー
球上の任意の点の求め方
中心(0,0,0)、半径rの球があるとき、 球上(球の表面)の任意の点(座標(x,y,z))を求める方法を 教えていただけたらと思います。 どうぞよろしくお願いいたします。
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
＃４です。補足に回答します。 例えば半径１の球上のとある点Ｐ（x,y.z)＝(1,0,0)を曲座標表示するとどうなるか？という御質問かと理解しました。 線分ＯＰをx-y平面上に正射影したもの（ここでは線分ＯＰそのままですが）とｘ軸とななす角はθ＝０(rad)（いわゆる０度） 線分ＯＰとｚ軸とのなす角φ＝π/2(rad)（いわゆる９０度） 従って曲座標表示ではＰ（ｒ、θ、φ）＝（１、０、π/2） 確認のために式に当てはめて元のxyz座標を求めてみると ｘ＝1*sin(π/2)*cos(0)=1*1*1=1 ｙ＝1*sin(π/2)*sin(0)=1*1*0=0 ｚ＝1*cos(π/2)=1*0=0 元の直角座標系の点Ｐ（x,y.z)＝(1,0,0)と一致するので正しいことが確認された。
その他の回答 (5)
- at9_am
- ベストアンサー率40% (1540/3760)
＃３です。補足します。 > ”l ”は何をさしているのでしょうか？？ とのことですが、求めたい点(x,y,z)の z で xy 平面と水平に球を切ったときの半径になります。 とはいえ、これを求めるのは面倒なので、パラメータとして用いる事になるでしょう。
平面座標の表示方法で、Ｐ（ｘ、ｙ）座標の他に 曲座標表示Ｐ（ｒ、θ）があるのはご存知でしょうか。 ｒ：原点からの距離 θ：ｘ軸との角度 これを知ってることを前提としますが、曲座標の空間版があります。 Ｐ（ｒ、θ、φ） ｒ：原点からの距離 (r≧0) θ：線分ＯＰをｘ－ｙ平面上正射影した図形のｘ軸との角度 （０≦θ＜２π） φ：線分ＯＰとｚ軸との角度（０≦φ≦π） これを用いると半径ｒ（＞０）の球は以下のようになります。 ｘ＝ｒsinφcosθ ｙ＝ｒsinφsinθ ｚ＝ｒcosφ ０≦θ＜２π ０≦φ≦π θとφに好きな値を代入すればｘ、ｙ、ｚが求められます。
お礼
ご回答ありがとうございます。 曲座標、、聞いたことがあるぐらいで、詳しくはわかっていません。。 これから調べてみたいと思います。 とても参考になりそうな公式(解？)を教えていただき ありがとうございます！！
補足
butcherjpさんに教えていただいた式をさっそく試してみたのですが、 ひとつ疑問点があります。 ・半径は１とします ・Y軸を縦に取りX軸を横に取る(X-Y平面？) ・Z軸線分は０とする 求める点を(X,Y)→(1,0)とした時、 X=1 Y=0 Z=0 この座標位置を教えていただいた式に当てはめて計算すると、 X=1×0×1=0 Y=1×0×0=0 Z=1×1=1 になってしまいます。 θ、φの考え方が間違っているのかもしれませんが、 もしお時間が有りましたらご回答いただければと思います。 よろしくお願いいたします。
- at9_am
- ベストアンサー率40% (1540/3760)
＃１のかたや＃２のかたの回答で良いと思いますが、もう少し簡単に。 x = l sin θ y = l cos θ とおくと x^2+y^2=l^2 なので l^2 + z^2 = r^2 以上をまとめて (x,y,z) = (l sinθ, l cosθ, ±√(r^2-l^2) ) ただし 0<=θ<360。
補足
at9_amさんのご回答とても、興味深いので１つ質問をさせてください。 すごく初歩的な質問かもしれませんが、、、 ”l ”は何をさしているのでしょうか？？ もしよろしければ、ご回答よろしくお願いいたします。
- taktta
- ベストアンサー率23% (12/52)
点Ｑ（ｘ、ｙ、ｚ）を（ｘ、ｙ）平面に垂直に落としそこをｐとします。するとその点Ｐの標は（ｘ、ｙ）ですね。そしてその点の高さがｚになります。Ｐと原点Ｏ及びＱは直角三角形なのでピタゴラスの定理より、 ＱＯの長さ＝球の半径ｒとして （ＱＯ）の２乗＝（ＰＱ）の２乗＋（ＯＰ）の２乗、 ∴ｒ^２ ＝ ｚ^２ ＋（ｘ^２+ｙ^２） ＱＥＤ
お礼
わかりやすい解説ありがとう御座います！ 参考にさせていただきます！
- outofafrica
- ベストアンサー率26% (12/45)
ご質問の球の方程式は x^2 + y^2 + z^2 = r^2 です． これがわかれば解けると思います．
お礼
ご回答ありがとう御座います。 参考にさせていただきます！！
お礼
ご回答ありがとうございます！ 納得です。 丁寧な回答ありがとうございました。