RC直列回路に交流正弦波を印加したときの電流？

質問

抵抗値 R = 30 [Ω] の抵抗と，静電容量 C = 0.1 [μF] のコンデンサーを用いて RC 直列回路を組み，AC100 [V] の交流正弦波 f = 50 [Hz] を印加したときの，電流 i の従うべき理論式はどうなるのでしょうか？

　直流の場合は i = (V/R)exp(-t/CR) という式に従うと教科書にあり，式の導出の過程も一応理解したのですが，交流正弦波の場合はどう取り扱えばいいのかわかりません。

　実を言いますと，現在教えて！goo No.173330 に登録した通りの問題で行き詰まっております。RC 直列回路に交流正弦波を印加したときの電流の式が分かれば，この問題も解決すると思いました。よって，No.173330 の質問に即した形で答えていただければ，なお幸いです。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=173330

　以上，どうかよろしくお願いします。

回答No.1

anisol · ベストアンサー

交流回路の基本なので、高校の物理の教科書にもあるかもしれません。

コンデンサのインピーダンスは

X=1/(2πfC)=1/(2π*50*0.1*10^-6)=31.8*10^3[Ω]

抵抗とコンデンサの直列つなぎのインピーダンスは

Z=√(R^2+X^2)=√(30^2+(31.8*10^3)^2)=31.8*10^3[Ω]

電流は

I=E/Z=100/(31.8*10^3)=3.14*10^-3[A]

この回路にさらに例えば1kΩの抵抗をつないだとき、流れる電流は

100/√( (30+(1*10^3))^2+(31.8*10^3)^2 )=3.14*10^-3[A]

で、ほとんど変わりません（コンデンサのインピーダンスが1kΩに対して大きいため）。また1kΩの抵抗の両端の電圧は

3.14*10^-3[A] * 1*10^3[Ω]=3.14[V]

また、この回路に例えば入力インピーダンス10MΩのデジタルテスタを挿入して電圧を測ったとき（スナバ回路のリレーオープンのときなど）、テスタの示す電圧は
（式省略、上の2つの式と同様）
99.9[V]で、ほとんど電源電圧と同じになります。

補足

早速のご回答，大変ありがとうございました。この RC 直接回路で流れる電流が，

> I=E/Z=100/(31.8*10^3)=3.14*10^-3[A]

ということですと，この回路の途中にさらに電気製品を直列に挿入した場合，概ね 3 mW 以下の消費電力の電気製品なら問題なく動作するのでしょうか？　また，その 3 mW の家電製品というのが，例えば電球だった場合，または AC トランスを利用した製品だった場合，両者ともに問題なく動作するのでしょうか？

　この 3 mW という値をもっと低くするには，単純に考えればコンデンサーのインピーダンスを上げればよい（静電容量を下げればよい）ということになると思いますが，コンデンサーの静電容量を例えば 1/10 に下げてしまった場合，この RC 直接回路を電磁リレーのスナバ回路として用いたときに，スナバ回路としての働きはどう変化しますか？

回答No.3

anisol

＞この回路の途中にさらに電気製品を直列に挿入した場合

3mWの消費電力とすれば、抵抗負荷だと約3.3MΩになります。このような負荷は実際にはないと思いますが、計算上は「10MΩのデジタルテスタ」の項で計算したように問題なく動作します。「ACトランス」の場合は、うーんどうでしょう。トランスは無負荷状態ではコイルと同じで、数100mAぐらいの励磁電流が流れますから…。

＞コンデンサーの静電容量を例えば 1/10 に下げてしまった場合
これは過渡現象の話になるので、私は苦手です。他の回答者の方にお任せします。

ところで、スナバ回路は半導体スイッチ関係の用途が多いようですが、電磁リレーにも必要なのでしょうか？負荷が誘導性でなく、開閉頻度が少なく、ノイズの問題がそれほど場合はバリスタだけで充分にも思うのですが……？（一般のスイッチにも特に何も付いていないので）

お礼

ご回答いただき，大変ありがとうございました。

> 一般のスイッチにも特に何も付いていないので

いわれてみればその通りで，確かに不必要な回路だったかもしれません。早速スナバ回路を取り外し，すべて問題は解決いたしました。

この度は，大変ありがとうございました。

回答No.2

noname#21649

交流インピーダンスの直接計算は．１の方が答えていますので．テスターとネオン管についてだけ。前回の質問に絡めて答えます。

まず．ネオン管で交流を接続する場合には．１メガオーム程度の抵抗を直列に入れますので．回路抵抗が１Ｍオーム超過の回路で考えます。１００ｖのパワーリレー回目ですから．負荷は数オームを前提とします。なお．負荷が１００ｋオーム超過のような回路では．電流がほとんど流れませんから．リレー接点保護や雑音防止を目的とするスパナ回路をつけません。むしろ．リレーが開いている時の漏れ電流や誘導が問題となり．漏れ電流の少ない部品（一例としては．メタルシールドリレー）を選定します。ですから．原則として電流が流れることを考えません。（ネオン管が負荷ではないですよね）

テスターの種類が書かれていませんが．おそらく昔ながらのタイオードで整流して．抵抗で分圧している方の２ｋオ－ム／（最大測定電圧の）Ｖ程度のインピーダンスのテスターを使用しているかもしれません。これで．負荷抵抗が３００－５００Ｋオームとなり．抵抗とコンデンサーの合成インピーダンス約３０ｋオーム（１桁に丸めたもの）で．直流の分圧法則と同じ計算をすると．お話のように．テスター
の目盛りが９５Ｖ程度になることが見当つきます。

一部の半導体機器を除くと．電源電圧を５０Ｖ以下にすると．原則として動作しません。ネオン球や電球では．５０Ｖでもうっすら光る場合がありますから．より低くします。負荷が１０－５００Ｗということですから．起動電流（電源を入れた直後に極端に大きな電流が流れるので．この電流を呼ぶ）をまったく考えず．定常電流（起動からしばらくたって電流がほとんど変化しなくなった時の電流）で考えます。
Ｗ＝ＩＥより．１００Ｖ１０Ｗの機械の定常電流は０．１Ａとなります。負荷抵抗は１００Ｖ／０．１Ａ＝１Ｋオームとなります。

すると．１の方の計算にしたがって．１０Ｗの機械にリレーがＯＦＦの時に流れる電流は３ｍＡ程度．かかる電圧は３Ｖ程度です。従って．原則として動作しません。

ただ．問題が一つだけ残っています。リレーが．片側１線しか切断しない場合に．家庭内に来ている電気の１００Ｖの接地側か非接地側のいずれか一方しか切断しません。もし．接地側の電線を切断した時には．人間が接地されているとすると．電線に触っただけで感電します。あるいは．両側２線を切断する回路の場合には．５０Ｖ程度かかりますので．電線に触ってビリット来た程度のことが起こります。常に電気が来ていることを考えてください。
このような場合．どうしてもりれーの出力側に電気が来ない方法は．ちょっと変わったリれー回路をくみます。

単に電気が来ていることを示すネオン管がつかないようにするには．表示灯をネオン管ではなく．ナツメ電球等にする方法があります。

お礼

この度は，色々と教えていただき，また考察していただき，大変ありがとうございました。
スナバ回路につきましては，取り外しても問題ないとのことですので，外してしまいました。
これからもお世話になることがあるかも知れませんが，どうかよろしくお願い申し上げます。