内接する四角形の向かい合った角同士

質問

質問タイトルのものは、なぜ足すと１８０°になるのか・・。ど～んないびつな形の四角形でも、内接してれば何故そうなの！？

回答No.4

kochory · ベストアンサー

図なしで説明するのはいささかめんどくさいのですが、やってみましょう。

円Oに内接する四角形の頂点をA,B,C,Dとする。
△OAB,△OBC,△OCD,△ODAを考えると、これらは全て二等辺三角形。
これらの三角形の、等しい角の大きさをそれぞれa,b,c,dとすると、
四角形ABCDの内角の総和は2a+2b+2c+2dと書ける。
どんな四角形でも内角の総和は360°だから、
2a+2b+2c+2d=360°、すなわちa+b+c+d=180°。
ところで、四角形ABCDの向かい合った角の和はa+b+c+dと書ける。
(図を描いて確認してみよう)
よって向かい合った角の和は180°。

回答No.3

char2nd

このサイトの一番最後に説明があります。

参考URL：

http://contest.thinkquest.jp/tqj1998/10064/text/en.htm

回答No.2

shkwta

(1)円周角の定理（「中心角は円周角の２倍である」）
により、向かい合う角を円周角とみなしたとき、それぞれの角に対応する円周角の和は360°だから、角の和はその半分で 180°である。

(2)円の中心と、４つの頂点を結ぶと、二等辺三角形が４つでき、頂点の角は全部で８つに分割されるが、この８つの中に２つずつの等しい組が４組ある。したがって、向かい合う頂点の角の和は、４つの頂点全部の角の和（360°)の半分である。つまり、180°である。

回答No.1

oyaoya65

ヒント
向かい合う角のでない頂点と円の中心を結び、２つの頂角をそれぞれ中心角（頂角の2倍）に直してみれば、中心角の和が全円の360°になることから、向かい合う頂角の和が360°の1/2になるということです。

図を描いてみて、ヒントにしたがって図とにらめっこして考えてみていただければわかるかと思います。