「９」を足しても足さなくても最後の答えは一緒なのはなぜですか？

質問

「計算力を強くする」という本に出てきた車のナンバープレートゲームについての質問です。
４桁の数を全部足します。１２３９なら、
１＋２＋３＋９＝１５
その答えをさらに、各位に分けて足します。
１＋５＝６
答えが１桁になったらそこでストップ。
このゲームでは「９」を足さなくても最後の答えは一緒なのです。
１＋２＋３＝６
なぜなんでしょう？

回答No.5

shkwta · ベストアンサー

一般に、次のようになります。

（１）元の数は４桁でなくて何桁でもよい。
（２）加えるのは９でなくて、９の倍数なら何でもよい。また、どこにどう挟んでもかまわない。

例。
2845635→33→6

９の倍数として、27, 45, 36を用意し、これをバラバラにして途中に挟みます。
2[2]8[7]4[4]5[5]6[3]3[6]5

2287445563365→60→6

それで、なぜそうなるのかというと、桁を全部足す操作は、

「9を何度も引いていって、最後に１桁の数にする」

という操作と同じだからです。9をどんどん引いていくのだから、途中で９の倍数が加わったり、取り除かれたりしても最後の結果は変わりません。次のように考えてください。

1239→15→6

の例でいうと、

1239＝1000 + 200 + 30 + 9

と分解できます。
ここで、1000から999×1を引き、200から99×2を引き、30から9×3を引くと

1 + 2 + 3 + 9

になります。今引き算をした 999×1 + 99×2 + 9×3 は、

999×1 + 99×2 + 9×3　＝　9×(111×1 + 11×2 + 1×3) ＝ 9×136

ですから、1239→1+2+3+9 という操作は、9を136回引くのと同じです。

この計算は、元の数が9で割り切れる場合は最終結果が9になり、元の数が9で割り切れない場合は最終結果は9で割った余りになります。

お礼

「９を何度も引いていいって、最後に１桁の数にする」のと同じなんですか！考えもしませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.4

ojisan7

昔からある、簡易計算法で、「九去法」というのをご存じですか。わかりやすく言えば、９を法とする乗余系です。
私たちが日常使用してしているのは、十進法ですね。そこで、
10≡1 (mod 9)
10^2≡1 (mod 9)
10^3≡1 (mod 9)
一般的に
10^n≡1 (mod 9)
ですから、
１２３９≡１＋２＋３＋９≡１＋５≡６
となります。
ちなみに、
９≡０　（mod 9)
です。便利な計算法ですね。

がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます。
九去法ですか！初めて聞きました。参考になりました。

回答No.3

kkaawwaachon

1238の場合
1+2+3+8＝14
1+4＝5
になりますが、？？

最後の８を計算するとしないとでは、答えが違ってきますが、
問題の意味が分かりません。

私が何か勘違いしているのでしょうか。

補足

「９」の場合のみです。ほかの数字じゃこうはならないんです。言葉が足りなかったようです。
すみませんでした。

回答No.2

decoration

９と言う数字は（１０－１）です・・、
つまりは１０の位に１を足し、１の位から１を引く
合計を求める場合には
１（１０の位）－１（１の位）＝０
となるため、合計数に影響は無いって事じゃないですか？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

mikusa

なにかに９を足すと１繰り上がって、一の位は元の数字から１引いた数になるからではないですか？

たとえば５なら
５＋９で
繰り上がって１４
一の位は５－１の４です。
で、結局十の位にある１を足すから元に戻るのです。

説明下手ですね…
ほかに説明上手な方、よろしくお願いします。

お礼

回答ありがとうございました。