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log-logの補間式
stomachmanの回答
エネルギーと実効線量の関係については忘れちゃったので、とりあえず一般論のみ。 一般に、何の智恵もなしに (xi, yi) i=1,2,...,N が分かっているときにxにおけるyを求めようとするときは多項式近似をやります。 つまりこれらの与えられた点を通る(N-1)次式を作って、これにxを代入するんですね。データがほんとに２カ所しかない（N=2）場合なら直線近似をやるということになります。つまり yi = a xi + b (i=1,2) という連立方程式を解いて、a,bを決めれば y = a x + b で近似値が出ます。答は y = y1(x-x2)/(x1-x2)+y2(x-x1)/(x2-x1) です。 N=3なら２次式になって、 y = y1(x-x2)(x-x3) /[(x1-x2)(x1-x3)]+ y2(x-x1)(x-x3) /[(x2-x1)(x2-x3)]+ y3(x-x1)(x-x2) /[(x3-x1)(x3-x2)] N=4なら3次式になって、 y = y1(x-x2)(x-x3)(x-x4) /[(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)]+ y2(x-x1)(x-x3)(x-x4) /[(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)]+ y3(x-x1)(x-x2)(x-x4) /[(x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)]+ y4(x-x1)(x-x2)(x-x3) /[(x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)] 規則性が分かりますか？ x=x1, x2, x3,...を代入するとどうなるか、自分で検算してみると仕組みが理解しやすいですよ。 もうちょっと智恵があって、 y = f(x) というような理論式が分かっている場合には あてはめ（model fitting）をやります。 たとえば、 f(x) = a exp[bx] (exp[]は指数関数、a,bは未知の係数です） というのなら、 この例では N=2が未知の係数の個数と同じだから、単に連立方程式 y1 = a exp[b x1] y2 = a exp[b x2] を解いてa, bを決めることになります。この例では両辺の対数をとって、 ln(y1) = ln(a) + b x1 ln(y2) = ln(a) + b x2 とすれば、ただの２元連立一次方程式ですね。 一般にはNが未知の係数の数より多いので、 yi = f(xi) ＋Ei (i=1,2,....,N) という連立方程式を考え、誤差Eiの二乗和 S = E1^2 + .... + EN^2 が最小になるように未知の係数を決定するのです。これは最小二乗法(least square method)と言います。 最小二乗法についての良い教科書は 中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」 東京大学出版会 1982 です。 この他にもスプライン補間法というのがあります。また、こういった話全般は、「近似理論」と呼ばれることがあります。
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