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ラプラシアンの極座標表示について

siegmundの回答

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  • siegmund
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回答No.2

座標変換や偏微分を教えていると,よくお目にかかる例です. 偏微分の記号は JIS にありますので∂を使うことにします. 本質は redbean さんが書かれているとおりで, ∂r/∂x を計算するとき,何を一定として計算するかの問題です. 通常,独立変数は (x,y) の組,あるいは(r,θ)の組ですから, x で偏微分するときは y 一定でやるのが常識的です. つまり,r = √(x^2 + y^2) として, (1)  ∂r/∂x = x/√(x^2 + y^2) = r cosθ/r = cosθ です. 一方,r = x/cosθ と考えてθ一定で偏微分すると (2)  ∂r/∂x = 1/cosθ となって,(1)(2)では分母分子が逆転してしまいます. 偏微分のときに一定に保った変数を下付で書くのはご存知ですよね. 熱力学でいやと言うほど出てきます. これを明確に書くなら, (1)は (∂r/∂x)_y を計算しているのに対し, (2)は (∂r/∂x)_θ を計算しています. 偏微分の際に一定に保った変数が違うのですから,結果が違っても不思議はありません. 図を描くと状況がもっと明確になります.      y          │        Q'      │       /      │      /      │     /      │    P───Q      │   /      │  /  R      │ /      │/θ      └────┬───┬─ x     O     │ dx │ P点から出発して,x を dx だけ増やしたときに, y 一定ならQ点に行きますが,θ一定ならQ'点に行きます. このときの r の変化は, y 一定なら(ほぼ)QR(RはPからOQへの垂線の足,PR がここではうまく描けません), θ一定なら PQ' です. △PQQ' と △QRP は相似ですから,QR:PQ = PQ:PQ' = cosθ:1, すなわち,PQ'/QR = 1/cos^2 θ です. この因子がちょうど(1)(2)で cos^2 θ倍違うことに相当しています.

mo-tuk
質問者

お礼

redbeanさんに加えて,さらに具体的な図を使った説明非常にわかりやすかったです,これからもよろしくお願いします。

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