【統計学】変数が従属しているにもかかわらず相関が０の場合の特徴について

質問

【問題】
A pair of random variables X and Y for which the condtional mean of Y given X depends on X but corr(X,Y)=0. Let X and Z be independently distributed standard normal random variables, and let Y=X^2+Z
の場合に、以下の３つが成り立つことを示せ。（上記の条件は、私の下手な約をしたら解釈が変わるかもしれないと思い教科書の英文そのまま掲載しました、すいません・・・）
(1)E(Y|X)=X^2
(2)Yの平均は1
(3)E(XY)=0

この場合は、相関が０で従属しているということは、グラフにするとy=|ax^2|+bみたいなかたちをしているのかなということぐらいは想像はついたのですが、それ以上どうしたらいいのかさっぱりわからないです。よろしくお願いします。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

(1)は、Xをある値に固定したときの条件付平均値なので、Y=X^2+Zの中のXを定数扱いします。Zの平均は0だから、Yの平均はX^2であることはすぐわかります。

(2)は、Yの平均はX^2の平均とZの平均の和であることと、Xの分散は1だからX^2の平均は1だということから示せます。

(3)はX^3+XZの平均を求めればいいのですが、Xは平均0で左右対称の分布ですからX^3の平均は0、またXとZは独立で、どちらの平均も0ですからXZの平均も0です。

要するに、X^2とXは独立ではないが、相関はない(つまりE(X^3)-E(X^2)E(X)=0)というところがポイントのようです。相関がない理由は、(X^2=a^2, X=a)と(X^2=a^2, X=-a)が同じ確率密度で起こるので、共分散E(X^2*X)-E(X^2)E(X)が0になってしまうということです。あるいは、Xが0から増えても減ってもX^2は同じように増えるので、相関はないと考えてもいいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
このように考えるのですね。
勉強になりました！どうもありがとうございます！
(2)はE(X^2) = σx^2 + μx^2 = 1 + 0 = 1
(3)はXY = X(X^2 + Y) = X^3 + XY
E(XY) = σxy + μx^3*μxy = 0 + μx^2*μx*μxy = 0 + 1*0*0 = 0 + 0 = 0
とかいう感じになるということですよね？