e^π＝i^(-2i)に関する素朴な疑問

質問

タイトルの公式の左辺は実数の実数乗なので素人にもイメージできると思っていると右辺のほうは虚数単位の虚数単位乗という恐ろしげなものなので途方にくれますが、この理由のひとつはπが超越数だからなのでしょうか（超越数のことは何もわかりませんが、わかって居られる方がそうだとおっしゃれば安心できます)。もちろん別のご教示をいただくこともありがたいのでよろしくお願いいたします。

回答No.6

toranekosan · ベストアンサー

以前に、同類の質問に対して回答した者です。

πやeは超越数として知られています。
超越数とは代数方程式の解にはなりえない
実数を意味します。
逆にいうと、数多くある実数の中で代数方程式の
解にはなりえない数を意味します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
平たく言うと単なる実数にしか過ぎません。
それなので、オイラーの公式から派生する
この式が超越数と関連するのかという問いに対しては
関連しないという答えが返ってきます。
超越数としては例えば2^(2^(-0.5))という数も
超越数なのです。

この式の理解をしたいのであれば、アプローチが
間違っています。オイラーの公式を理解する
所から考えなければいけません。普通の超越数では
ありえない関係式がオイラーの公式です。

この公式を理解するには指数関数と対数関数、
複素数、三角関数の知識があれば事たります。

まず、y=e^(ix)が満たす微分方程式を考えます。
dy/dx=iy　,y(0)=1
さて、
逆にいうと上の微分方程式を満たす関数が
e^(ix)の別表現となるわけですね。
d(cosx)/dx=-sinx=i*i*sinx
d(sinx)/dx=cosx
これらの関係式を使って考えてみると、つまり、
e^(ix)=k(cosx+isinx)
あるいは
e^(ix)=-k(cosx-isinx)
というのが答えになるわけです。
しかし、x=0の時、e^0=1なので、
e^(ix)=cosx+isinx
しかありえないことがわかります。
大抵の所は違う展開式の項を比較しているのですが
展開は０付近での展開であって、全域に渡っている
わけではないのです。なんでそういう関係式の出し方
をするのかがちょっと理解出来ないですけど。
本質的には展開式を比べるのでもなんでも、微分した
値に注目すれば導かれます。今回は一回だけしか微分
しませんでしたが二階微分を仮にやったとしても
何階微分でも同じような関係式が導かれるのです。

この関係式は、三角関数と指数関数の微分の性質と、
虚数単位の定義のみを使って導いている事に注目し、
決して超越数が絡んでいない事に注意してください。
つまり追求すべきは、三角関数と指数関数の微分の
仕組みの方です。

さて、このオイラー公式から、
x=πを代入してみます。
e^(iπ)=cos(π)+isin(π)
e^(iπ)=-1
e^(iπ)=i^2
e^(π)=i^(-2i)
というお望みの式が出てくるわけです。
ここでは単に三角関数の定義と性質、虚数単位の性質、
指数関数の性質のみを使っています。
ここで初めてπが出てくるわけですが、これは
たんに三角関数の定義を使っているだけです。

さて、別の例を出しましょう。
e^(iπ/4)=2^(-1/2)+i*2^(-1/2)=(e^(iπ/2))^(1/2)
e^(iπ/2)=i
ここから、i^(1/2)=2^(-1/2)+i*2^(-1/2)

あるいは・・・
e^i=cos(1)+isin(1)
とか・・・これを応用するとeをiを使って表現できますよ。
e^(-1)=e^(i*i)=(e^i)^i=(cos1+isin1)^i

こっちのはπは無いけど、面白くないですか?

数学は遊ぶと楽しいです。もっと数学を勉強していってください。ただちょっと独学っぽい所があるので、
誰か教師を探した方が良いかもしれません。本だけで
理解出来るにはある程度のトレーニングが必要ですから。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1473709

お礼

大変ありがたいご教示でした。しばらく勉強させていただきます。数学に王道無しですね。その後出来れば遊べるような日が来るとよいと思います。

回答No.8

toranekosan

間違い・・・
I=
0 -1
1 0
であって、
A(x)=
cosx -sinx
sinx cosx
でした。
訂正しますm(__)m

お礼

ご丁寧にお知らせいただきまして有難うございます。ご指示に従って訂正します。

回答No.7

toranekosan

もうひとつ面白い例をあげておきます。
行列と複素数の関係です。

単位行列Eを
1 0
0 1
と書きます。
虚数単位を示す行列をIとすると
0 1
-1 0
となります。

ここで、次の行列を考えます

A(x)=cosxE+sinxI
この成分は
cosx sinx
-sinx cosx
です。

この行列Aは二次元平面の回転行列として有名です。

複素数a+ibは
行列aE+bIと等価です。（複素数で可能な全ての演算上において）
計算すると良く似ている事が判ります。

A(π）＝I
となることからわかるとおり（計算してみましょう）、
e^(ix)はA(x)と等価に値します。

A(x)=cosxE+sinxI
A(-x)=cosxE-sinxIから
cosxE=(A(x)+A(-x))/2
sinxE=(A(x)-A(-x))/2
という表現も可能になります。
微分してみると
ｄA/dx=IA=AIという関係が手にとるようにわかるでしょう。

このIとは、行列成分を見てみると判るのですが、
xy平面状で、ｘ軸をｙ軸に変換する一次変換である
事がわかると思います。この事から虚数単位は
というイメージが出てきて、no.5さんが言うような
解釈が生まれてくるのです。

もっと面白い（混乱するかもしれないけど）例は
e^X=E+X+1/2*X^2+・・・1/(n!)X^n+・・・
という展開もありえます。
両辺を形式的に微分するとしっかり一致する事が
簡単に証明可能です。

お礼

他の方のご教示とともにこれも大変ありがたいものです。理解できるかどうかの前になにやらありがたい感じがします。勉強させていただきます。

回答No.5

migoreng

1 なら (1,0)、i なら (0,1) というような複素平面で考えたとき、i の実数(正の数)乗の値は、(1,0)から原点のまわりを反時計回りに等速回転し、i の 1 乗になったとき、(0,1)に到達します。逆に i の実数(負の数)乗の値は、(1,0)から原点の周りを時計回りに等速回転しますね。
i の純虚数(虚部が正)乗の値は、(1,0)から指数関数的に(0,0)にまっすぐ到達します。i の純虚数(虚部が負)乗の値は、(1,0)から指数関数的に増大して(∞,0)に向かって進みます。この途中で、たまたま表題のような関係になる場所があるということだと思います。
何の説明にもなっていませんが、複素平面で考えれば見通しがよくなるのではないでしょうか。

お礼

ご丁寧にご教示賜り有難うございます。ご指示に従って。勉強を試みたいと思います。

回答No.4

springside

>>実数の超越数べき乗がブラックボックス的に虚数と関係しているというような印象が正しいのかどうか悩んでいます。

なぜ、最初からこういう真意を『隠して』質問されるのか理解できませんが、「πが超越数であること」とは無関係でしょう。

お礼

隠すなどとんでもない。私の表現力が乏しい為です。どうも申し訳ございません。深くお詫び申し上げます。

回答No.3

keiryu

例えば、
　２の3乗を２×２×２のことだと認識しているなら、どんな説明をしようと、虚数のｉ乗なんてイメージできないでしょう。
　ある数の指数乗は、なにもある数を何個か掛けたものということだけを表しているのではない、ということを認識することでしょう。
　極めて卑近な例えで言えば、足し算には、増加、合併、添加の意味が含まれており、割り算には、等分すると言う意味もあれば、何個含まれているか、と言う意味もあるように、指数にもいろんな意味はあるものです。
　指数の意味を広げて考えることでしょう。とはいってもその中身がイメージできないから、こんな質問をしたのでしょうが。

お礼

無能さを叱られているような感じですが、そこを何とかという感じでもあります。大変ためになるご叱正でした。

回答No.2

sunasearch

i×i = -1と意味としては同じことでは？
左辺は虚数を二つ掛け算していますが、右辺は実数ですよね。

http://homepage1.nifty.com/s_miyake/hp/ipower2.htm

お礼

なるほどと思いました。ご指示の通りに考えて勉強させてください。しかし自分の抱いている負数のイメージが怪しくもなりました・・・

回答No.1

ymmasayan

オイラーの等式を信じるしかないですね。
e^iπ＋１＝０・・参考ＵＲＬ
これを変形していくとご提示の式が導けます。

e^iπ＝－１(=i^2)
(e^π）^i＝i^2
e^π＝(i^2)^(-i)
e^π＝i^(-2i)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

お礼

実数の超越数べき乗がブラックボックス的に虚数と関係しているというような印象が正しいのかどうか悩んでいます。ご教示有難うございます。