急ぎで・・・

質問

aとbは±1、0でない実数とする。x、yがsinx/siny＝a、cosx/cosy＝bを満たしているとする。
1、tan^2y(tan二乗y)をa、bを用いて表せ。
2、点(a,b)の存在する範囲をab平面に図示せよ。(これはaとbの関係式を教えてください)

解いたところ、1番はtanxがある式ですがいいと思いますか？

回答No.3

Umada · ベストアンサー

1.ですが、このような場合はx, yが残らない式が要求されていると解釈するのが普通です。従ってtan xが入っている式もまだ不十分ということになります。特にこの問題の場合、次の設問でa, bの取りうる範囲を図示させようとしているわけですからx, yが残ったままだと困ってしまいます。

1.　多少強引にでもx, yを含まない式にしてしまいます。
与えられたa, bについての関係式をsin x, cos xの形に書き直し、自乗和=1の式を作ると
a^2 sin^2 y+b^2 cos^2 y=1　　(1)
を得ます。これを
tan^2 y=sin^2 y/cos^2 y　　(2)
に代入します。(もちろん、 sin^2 y+cos^2 y=1を使います)
すると
tan^2 y=(b^2-1)/(1-a^2)　　(3)
となります。(a=bあるいはa=-bとなる場合を除く。これは、(3)を求める過程で(a-b)(a+b)で割る部分があるため)
ではa=bあるいはa=-bの場合はどうか?
これは(1)を考察することで除かれます。もしa=bなら(1)でsin^2 y+cos^2 y=1/a^2となりますのでa=b=±1が要求されますが、これは問題で与えられた条件で除外されていますからa=bは起こり得ません。a=-bでも同様です。
従ってtan^2 yの値は、結局(3)でよいことになります。

2.　正接(tan)はsinやcosと違って変域が制限されていません。しかし(3)のように書いた場合、tan^2 yですから(3)が負の値をとってしまうとそのようなyは存在しないことになります。(必要条件)
そのためには(b^2-1), (1-a^2)の双方が同時に正、または双方が同時に負であることが必要十分です。図示すると下のようになります。(■が含まれる領域、□が含まれない領域)

□□■■□□
□□■■□□b=1
■■□□■■
■■□□■■b=-1
□□■■□□
□□■■□□
　 -1　1　→a

境界は含まない(a,bは±1を取らないため)

これは必要条件だけですので、今度は■の領域であれば題意を満たすx, yが存在するかどうか考えてみます。(十分条件の検討)
1+tan^2 y=1/cos^2 y
は常に成り立ちますので、非負の値tan^2 yが存在すればcos^2 yの値も存在することになります。(同時にsin^2 yの存在も保証される)　従って■の領域ならcos y, sin yの値は存在することになります。
次にsin xやcos xも存在するかどうか調べます。sin^2 y+con^2 y=1をxの式に書き直すと
sin^2 x=a^2(b^2-1)/(b^2-a^2)　　(4)
と求まります。(4)の値が0以上1以下ならそのようなsin xは確かに存在します。
|a|と|b|の大小に気を付けて不等式を解くと、
|a|<|b|のとき　|a|≦1ならば(4)≦1　　(5a)
|a|>|b|のとき　|a|≧1ならば(4)≦1　　(5b)
となります。上の図を注意深く見ると、■の領域であれば(5a)(5b)を満たしていることが分かります。

従って、上の図で■で表示した部分が解ということになります。

*計算を間違えているかも知れません、途中の式などチェックしながら読んで頂ければ幸いです。

お礼

サインとコサインの関係式にたどり着けなくて悩んでいました。
サインY、コサインYから出そうとしてしまったようです・・・。
図も丁寧にありがとうございます。