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螺線(らせん)の長さ(ピッチ)と半径の関係式について

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  • 質問No.15778
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螺線の方向をz軸、半径方向をx、y軸として一定長の螺線をz軸方向に引っ張って伸ばした場合、半径(r)は、短くなり、反対にピッチl(エル)は長くなります。この半径とピッチの関係式について教えてください。
 なお、ピッチlとは螺線がx-y平面で見たとき、1回転するときのz軸方向の距離です。
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  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

この条件だけでは決まりません。ここで言う「螺線」とは平面図形の螺旋(spiral)ではなく、つるまきばねの形(helix)のようです。  (1)半径rの筒に巻き付いていて、筒の軸にそって一周ごとにlだけ進むねじになっています。半径r、全長Lの円筒にN回巻き付いているこのようなバネを一本持って来ると、ばねを構成している長さはD=sqrt{(2πrN)^2 + L^2}で、つる自体は伸び縮みしないものとすればDは不変です。ここでピッチlはl=L/Nですね。  (2)さて、バネを引っ張って延ばすやりかたは一通りではない。2つの自由度があるんです。 (a) 頭としっぽをつまんで、これを長さLは同じのまま、頭だけをz軸の周りでねじることができる。こうすると当然半径r、ピッチlも変わります。もともとN回巻き付いていたのが、N’回になったとすると、D=sqrt{(2πrN)^2 + L^2}=sqrt{(2πr’N’)^2 + L^2}という関係式を満たすようにrがr’に変化します。そして今度のピッチl’はl’=L/N’ですね。 (b)次に巻き付き回数を維持したまま、ぐいと引っ張って、全長をL’に変化させることができる。するとD=sqrt{(2πrN)^2 + L^2}=sqrt{(2πr’N’)^2 + L^2}=sqrt{(2πr”N’)^2 + L’^2}という関係式を満たすように、半径がr”に変化する。今度のピッチl”はl”=L’/N’になります。
(3) 実際の鋼鉄製のバネでも、端が自由に回転するようになっている(Nを変えられる)場合と、Nが不変の場合とでは振る舞いが違います。前者の場合、バネを作っている針金に掛かる曲げと捻れ(バネの巻き付きではありません)のエネルギーの和が最小になるように落ち着きます。「でも後者なら、半径は一意的に決められる」と思ったら大間違いで、バネの半径が何処でも同じ、というのはエネルギー的に最小ではない。むしろこっちの方が解析が難しいです。ここから先は機械工学の教科書を見た方が良いでしょう。
お礼コメント
noname#11257

stomachmanさん
お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした。いろいろ忙しくて検討する時間がなく失礼しました。
 さて、stomachmanさんのご回答は、大変わかりやすく理解することが出来ました。ありがとうございました。螺線ということでむずかしく考えてしまいましたが、stomachmanさんの言われるとおり、展開すれば、簡単なピタゴラスの定理になるのですね。もちろん、捻れとか、回転を与えれば複雑な解析が必要になると思われますが、今回は、単純な1次解が欲しかったものですから、これで十分です。本当にありがとうございました。
 では、今後ともよろしくお願いいたします。
                      tn238
投稿日時 - 0000-00-00 00:00:00
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  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 30% (4/13)

角度を t とすれば、 dx/dt = cos t, dy/dt = sin t, dz/dt = t l / 2π です。これを基にして螺旋の長さ L を計算すると

L = ∫√{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2} dt

です (積分範囲は 0 から 2π)。これを計算すると

L = 4π(r^2 + l t / 2π)^(3/2) / 3l

のようになるでしょう。(計算あってるか???)
お礼コメント
noname#11257

vmlinuzさん
 お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした。いろいろ忙しくて検討する時間がなく失礼しました。
 ご回答ありがとうございました。
さて、ご回答についてですが、次の点がよく理解出来ませんでした。
3次元空間での原点からの角度をtとすれば、dtも3次元なので
  dx/dt=cost
というように単純には表現できないのではないかと思います。dtのx-y平面への投影長をdt'として
  dx/dt'=cos(π/2-t)
としなければならないのではないか、したがって、dtとdt'の関係も規定しないといけないと思われますので、ちょっと複雑になると思います。
 小生の間違いかも知れませんので、また、ご教示いただければ幸いです。
 では、今後ともよろしくお願い申し上げます。
                        tn238
投稿日時 - 0000-00-00 00:00:00


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